Системы тел отсчёта в ТО

[SergeyGubanov]

Утундрий в сообщении #786814 писал(а):

Но, вдруг кого заинтересует?

Из аналогичных побуждений, мол вдруг кого заинтересует, напишу свою каляку про вышеозначенную монаду $\tau$.

Больше интересна ковариантная $\tau_{\mu}$ версия чем контравариантная $\tau^{\mu}$. Дело в следующем. Физический смысл дифференциальной формы $\tau = \tau_{\mu} dx^{\mu}$ - бесконечно малое приращение времени (умноженной на $c$) этой системы отсчёта при бесконечно малых вариациях координат $dx^{\mu}$. Ежёли вдруг дифференциальная форма $\tau = \tau_{\mu} dx^{\mu}$ голономна, то часы в этой системе отсчёта можно синхронизировать вдоль любого замкнутого контура:

$$ \oint \tau = 0, \quad d\tau = 0, \eqno(1) $$

а так же существует функция времени $t(x^0, x^1, x^2, x^3)$ такая что

$$ \tau = \frac{\partial c t}{\partial x^{\mu}} dx^{\mu} \eqno(2) $$

$$ g^{\mu \nu} \tau_{\mu} \tau_{\nu} = 1 \quad \to \quad g^{\mu \nu} \frac{\partial c t}{\partial x^{\mu}} \frac{\partial c t}{\partial x^{\mu}} = 1 \eqno(3) $$

Функция времени $t(x^{\mu})$ такой вот интересной системы отсчёта удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби (3). Уравнения $t(x^{\mu}) = \operatorname{const}$ задают гиперповерхности постоянного времени этой системы отсчёта. Поскольку свободные частицы тоже движутся согласно уравнению Гамильтона-Якоби, то для этой интересной системы отсчёта выполняется первый закон Ньютона обобщённый на случай искривлённого пространства: в этой системе отсчёта тела покоящиеся в начальный момент времени продолжают оставаться в состоянии покоя бесконечно долго если на них не действуют внешние силы. В оригинале у Ньютона была ещё присказка про равномерное прямолинейное движение, но в случае искривлённого пространства эти слова не имеет смысла. Короче, система отсчёта у которой диференциальная форма $\tau = \tau_{\mu} dx^{\mu}$ голономна является обобщением ньютоновского понятия инерциальной системы отсчёта на случай искривлённого пространства на столько на сколько это вообще имеет смысл (с отбрасыванием слов про равномерное прямолинейное).

[Утундрий]

SergeyGubanov в сообщении #790664 писал(а):

напишу свою каляку

В отдельной теме, пожалуйста. Или подождите пока я закончу.

[Munin]

(Оффтоп)

Утундрий
А шо, аргументированно возразить слабо?

[Утундрий]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #790825 писал(а):

аргументированно возразить слабо?

А у меня нет возражений. Действительно, можно делать и так и эдак или вообще никак не делать, мотивируя тем, что всё равно ведь любое уравнение сводится к $\text{что-то-там}=0$ и нечего этого что-то-тама расписывать. Но я выбираю делать именно так, потому что считаю, что так будет и проще и быстрее. К сожалению, отпуск кончился и появляться я теперь буду несколько более эпизодически.

[Munin]

(Оффтоп)

Утундрий
Спасибо.

Утундрий в сообщении #790829 писал(а):

К сожалению, отпуск кончился

Жаль. Надо было бы вам оперативней тему писать, с учётом момента окончания отпуска.

[schekn]

Тема почему-то заглохла. Мне кажется пока не сказано главное. Зельманов-Агаков разбили все допустимые координатные преобразования на 2 класса.

A1: $ x'^k=f'^k(x^k),\quad x'^0=f'^0(x^0,x^k)$
и
A2: $ x'^0={\varphi}'^k(x^0,x^k),\quad x'^0=x^0$

$x^0, x'^0$ это условно можно назвать "временем", а остальные координаты пространственные.

Метрику пространства-времени (1) в стартовом сообщении, можно представить тогда в таком виде:

$ds^2=c^2d{\tau}^2-dl^2$

Где ${d\tau}$ и $dl^2$ - инвариантные величины относительно преобразований класса А1. Это можно показать. Их в книге называют хромоинвариантами. Иногда можно встретить в литературе, что их называют физические время и длина. Соответственно отношение $dl/d{\tau}$ - физической скоростью. Нетрудно увидеть, что первое выражение в группе А1 - это изменение чисто пространственных координат. Их Зельманов называет переходом в другую систему координат, соответственно, все остальные , когда координатная сетка нестационарна, - это переход в другую систему отсчета.

Данное разбиение разумеется, не соответствует определению перехода в другую СО по Иваненко или по Родичеву.

[Утундрий]

schekn в сообщении #791986 писал(а):

Тема почему-то заглохла

Утундрий в сообщении #786814 писал(а):

неторопливый процесс сей

schekn в сообщении #791986 писал(а):

Мне кажется пока не сказано главное

Ещё даже не все определения даны

[Утундрий]

(* часть вторая, начало здесь *)

Рассмотрим уравнение $v^\mu = 0$. Из $(8)$ следует эквивалентность

$$v^\mu = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {v^* = 0} \\ {v^{\bar \mu } = 0} \\ \end{array} } \right.$$

(благодаря тождеству $\gamma _\sigma ^\mu v^{\bar \sigma } = 0$ у ${v^{\bar \mu } }$ только три независимые компоненты, так что с числом уравнений тут всё в порядке). Отыщем минимальный набор условий, обеспечивающих данное равенство. Для этого запишем в сопутствующих координатах все мыслимые компоненты $v^\mu $:

$$\[ \begin{gathered} v^* \sim hv^0 - a_i v^i \hfill \\ v^{\bar 0} \sim h^{ - 1} a_i v^i \hfill \\ v^{\bar i} \sim v^i \hfill \\ v_* \sim h^{ - 1} v_0 \hfill \\ v_{\bar 0} \sim 0 \hfill \\ v_{\bar i} \sim h^{ - 1} a_i v_0 + v_i \hfill \\ \end{gathered} \eqno (9) \] $$

Заметим теперь, что равенство нулю $ v_0 $ и $v^i $ влечёт за собой обнуление всех компонент $(9)$. Таким образом, цитированные компоненты могут быть выбраны в качестве "полномочных представителей" векторного уравнения $v^\mu = 0$:

$$v^\mu = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}c} { v_0 = 0} \\ {v^i = 0} \\ \end{array} } \right. \eqno (10)$$

Исследуем вопрос об однозначности определения сопутствующих координат. Рассмотрим произвольную допустимую (т.е. с ненулевым якобианом) замену координат $x^{\mu '} = x^{\mu '} \left( {x^\mu } \right)$ и потребуем, чтобы из \tau ^i \sim 0 следовало \tau ^{i'} \sim '0, что приводит к условию $x_{,0}^{i'} = 0$. Таким образом, переход к другим сопутствующим координатам (сопутствующим той же системе тел отсчёта) осуществляется при помощи следующих формул:

$$\left\{ \begin{gathered} x^{0'} = x^{0'} \left( {x^0 ,x^i } \right) \hfill \\ x^{i'} = x^{i'} \left( {x^i } \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \eqno (11)$$

Преобразования $(11)$ образуют группу - подгруппу группы всех допустимых преобразований. Удобно представить $(11)$ в виде произведения следующих двух подгрупп

$$\left\{ \begin{gathered} x^{0'} = x^{0'} \left( {x^0 ,x^i } \right) \hfill \\ x^{i'} = x^i \hfill \\ \end{gathered} \right. \eqno (12a)$$

$$\left\{ \begin{gathered} x^{0'} = x^0 \hfill \\ x^{i'} = x^{i'} \left( {x^i } \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \eqno (12b)$$

и в дальнейшем рассматривать действие $(12a)$ и $(12b)$ на геометрических объектах раздельно. Первым делом посмотрим, как преобразуются величины $(0)$

$$\begin{array}{*{20}c} {(12a):} & \begin{gathered} h = x_{,0}^{0'} h' \hfill \\ a_i = a_{i'} - x_{,i}^{0'} h' \hfill \\ \bar g_{ik} = \bar g_{i'k'} \hfill \\ \end{gathered} \\ \end{array} \eqno (13)$$

$$\begin{array}{*{20}c} {(12b):} & \begin{gathered} h = h' \hfill \\ a_i = x_{,i}^{i'} a_{i'} \hfill \\ \bar g_{ik} = x_{,i}^{i'} x_{,k}^{k'} \bar g_{i'k'} \hfill \\ \end{gathered} \\ \end{array} \eqno (14)$$

Геометрический смысл $(12)$ достаточно прозрачен. Преобразование $(12b)$ представляет собой простую перенумерацию мировых линий покоящихся наблюдателей. Из $(14)$ мы видим, что величины $(0)$ ведут себя при этом простым 3-тензорным способом - как скаляр, вектор и тензор соответственно. Преобразование $(12a)$ несколько интереснее - оно осуществляет репараметризацию "временной" координаты $x^0$ вдоль каждой мировой линии покоящегося наблюдателя. С помощью $(12a)$ любую гиперповерхность, пересекающую каждую мировую линию ровно по одному разу, можно привести к виду $x^0 = 0$.

У $(12a)$ имеется специальное название - хронометрические преобразования. Величины, форминвариантные относительно $(12a)$ называются хронометрическими инвариантами или коротко хивариантами. Из сказанного ясно, что вид хиварианта не зависит от выбора секущей гиперповерхности. Среди величин $(0)$ свойством хивариантности обладает одна $\bar g_{ik} $, поэтому она авансом и была отмечена чертой над символом. В дальнейшем, все хиварианты также будут отмечаться чертой над символом.

[Утундрий]

Вернёмся к $(1)$ и выясним, в каких случаях выражение $hdx^0 - a_i dx^i $ будет полным дифференциалом некоторой функции $t\left( {x^0 ,x^i } \right)$. Приравнивая смешанные частные производные, получаем следующий критерий

$$\left\{ \begin{gathered} h_{,i} + a_{i,0} = 0 \hfill \\ a_{i,k} - a_{k,i} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \eqno (15)$$

Отметим, что уравнения (не сами левые части!) $(15)$ хивариантны.

Упражнение 1 Пользуясь $(12a)$ сконструировать из левых частей $(15)$ хивариантные величины.

(* Продолжение, ближе к выходным, следует *)

[Утундрий]

К слову, мне будет отрадно узреть какое-то решение упражнения 1.

Касательно же грядущего, учитывая недавнее недоумение schekn по поводу дефиниции наблюдаемых теории, мне хотелось бы отвлечься от генеральной линии в сторону пояснения оных, тем паче, что действо сие не одним токмо потаканием сиюминутности будет заметно, а такоже дальнейшему пониманию излагаемого споспешествовать может.

[schekn]

Утундрий в сообщении #803725 писал(а):

К слову, мне будет отрадно узреть какое-то решение упражнения 1.

Касательно же грядущего, учитывая недавнее недоумение schekn по поводу дефиниции наблюдаемых теории, мне хотелось бы отвлечься от генеральной линии в сторону пояснения оных, тем паче, что действо сие не одним токмо потаканием сиюминутности будет заметно, а такоже дальнейшему пониманию излагаемого споспешествовать может.

Ничего не понял.

(Оффтоп)

Мне , кроме треволнений конца года, приходится вести 3 темы на разных форумах. Это действительно не просто.

[Утундрий]

Наблюдаемые в буквальном смысле. Времена, длины, углы там всякие.

P.S.

(Оффтоп)

Меня тут поправляют, что првавильно говорить не "такоже", а "такожде". Очень может быть, что оно так и есть. К правильнописаниям я отношусь изрядно творчески.

[Munin]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #803948 писал(а):

Меня тут поправляют, что првавильно... К правильнописаниям я отношусь изрядно творчески.

Ето заметно :-)

[Утундрий]

(Оффтоп)

У меня небольшое ура. Наконец-то выходные и сразу аж четыре. Так что отосплюс и продолжу.

[epros]

Ждём-с с нетерпением...

Я тут совершенно случайно заметил в этой теме обращённый и ко мне (в частности) вопрос:

В. Войтик в сообщении #788959 писал(а):

Ясно, что одному и тому же началу отсчёта могут соответствовать разное вращение декартовых осей. Нам же требуется узнать компоненты величины в данной системе отсчёта, о которой только известно движение её начала. Очевидно, что это не удастся, пока у нас отсутствует информация о положении каждой декартовой оси, ну или на крайний случай информация о величине угловой скорости.

Если же Вы меня просите представить 4-мерный способ построения такой гиперповерхности я это сделать не смогу, поскольку не геометр и вообще не математик. Возможно это может сделать epros, если захочет.

Заранее прося у топикстартера извинения за излишний мусор в его теме, всё же рискну вкратце ответить: Хотя описываемая здесь монадная система отсчёта совершенно безразлично относится к пространственным направлениям, вращение тела отсчёта ею всё же определено вполне однозначно, ибо покоящиеся мировые линии проходят не только через некое "начало отсчёта", а через все точки рассматриваемой окрестности.