2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Гармонические колебания (Зорич V.6.5)
Сообщение16.11.2013, 12:21 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Покажите, что если закон движения $x=x(t)$ удовлетворяет уравнению $m\ddot{x}+kx=0$ гармонических колебаний, то:
a) величина $E = \frac{m\dot{x}^2}{2} + \frac{kx^2}{2}$ постоянна
б) если $x(0)=0$ и $\dot{x}(0)=0$, то $x(t) \equiv 0$

С «а» всё понятно, достаточно продифференцировать и получить $\dot{x}(m\ddot{x}+kx) = 0$. Со вторым всё понятно когда $k \geqslant 0$ (сумма двух неотрицательных 0, значит каждое из неотрицательных — 0), но что если $k<0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонические колебания (Зорич V.6.5)
Сообщение16.11.2013, 12:40 


21/10/13
86
Тогда у вас будут не гармонические колебания и вообще не колебания.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонические колебания (Зорич V.6.5)
Сообщение16.11.2013, 12:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
$x(t) \equiv 0$ есть решение и притом единственное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонические колебания (Зорич V.6.5)
Сообщение16.11.2013, 12:47 
Аватара пользователя


03/10/13
449
hjury в сообщении #789244 писал(а):
Тогда у вас будут не гармонические колебания и вообще не колебания.

Ну оно-то понятно, просто в параграфе рассматривался случай отрицательного $k$ тоже. Ну окей, пусть тогда $k,m>0$, со следующей задачей:
c) существует и притом единственное движение $x=x(t)$ с начальными условиями $x(0)=x_0$ и $\dot{x}(0)=v_0$
такие же непонятки. (: Вывод $x(t)$ приводится в параграфе, так что доказательство существования не нужно, а вот как доказать, что если оно существует, то единственно?

Цитата:
и притом единственное.

Об этом и спрашивалось в задаче, как я понял. (:

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонические колебания (Зорич V.6.5)
Сообщение16.11.2013, 13:12 


21/10/13
86
Цитата:
Ну оно-то понятно, просто в параграфе рассматривался случай отрицательного $k$ тоже

Стало интересно, подскажите страничку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонические колебания (Зорич V.6.5)
Сообщение16.11.2013, 13:13 
Аватара пользователя


03/10/13
449
hjury в сообщении #789251 писал(а):
Стало интересно, подскажите страничку.

295, последний абзац.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонические колебания (Зорич V.6.5)
Сообщение16.11.2013, 18:15 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Задача:
Urnwestek в сообщении #789246 писал(а):
c) существует и притом единственное движение $x=x(t)$ с начальными условиями $x(0)=x_0$ и $\dot{x}(0)=v_0$
такие же непонятки. (: Вывод $x(t)$ приводится в параграфе, так что доказательство существования не нужно, а вот как доказать, что если оно существует, то единственно?

сводится к
Urnwestek в сообщении #789240 писал(а):
б) если $x(0)=0$ и $\dot{x}(0)=0$, то $x(t) \equiv 0$

Если предположить, что $x,y$ — два разных решения с одинаковыми начальными условиями, то $z=x-y$ — тоже решение, при этом $z_0 = 0, \dot{z}_0=0$. Ну что же, буду считать что действительно предполагалось $k>0$. Спасибо hjury и мат-ламер.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонические колебания (Зорич V.6.5)
Сообщение16.11.2013, 18:33 


10/02/11
6786
Есть теорема существования и единственности дифференциальных уравнений. Доказательство единственности надо выдрать из нее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонические колебания (Зорич V.6.5)
Сообщение16.11.2013, 18:38 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Oleg Zubelevich в сообщении #789338 писал(а):
Есть теорема существования и единственности дифференциальных уравнений.

Не знал, спасибо, поищу. Но тут, наверное, предполагалось что можно доказать как-то с помощью палки и куска верёвки, без использования глубоких результатов в области дифуров. (: Хотя кто их знает...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group