2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 док-во из книги ширяева по вероятности
Сообщение27.10.2013, 16:38 
Аватара пользователя


14/02/07
93
Здравствуйте, пытаюсь разобраться с док-вом одной теоремы из книги Ширяева "Вероятность-1", 4е издание. Это теорема 1, часть IV на стр 431. Утверждение этой части теоремы состоит в том, что если $\Pr_n\Rightarrow\Pr$, то $\Pr_n\stackrel{w}{\to}\Pr$. Для доказательства автор вводит множество $D=\{t\in\mathbb{R}\colon\Pr(x\colon f(x)=t)\neq0\}$, где $f(x)$ - непрерывная и ограниченная функция на $\mathbb{R}$. Откуда получается что $D$ - не более чем счетно?
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: док-во из книги ширяева по вероятности
Сообщение27.10.2013, 23:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Каждому такому $t\in D$ отвечает множество $A_t = f^{-1}(t)= \{x\, :\,f(x)=t\}$, и при разных $t$ эти множества не пересекаются и имеют положительные вероятности. Среди них не больше одной вероятности, превышающей $1/2$; не больше двух вероятностей, превышающих треть; не больше трёх, превышающих четверть и т.п. Т.е. всего таких положительных вероятностей не более, чем счётное число. Т.е. множество множеств $A_t$ не более чем счётно.

 Профиль  
                  
 
 Re: док-во из книги ширяева по вероятности
Сообщение28.10.2013, 05:07 
Аватара пользователя


14/02/07
93
А, понял, спасибо. Еще один вопросик по этому же док-ву, но чуть дальше.
Используя что $f(x)$ непрерывна и ограничена, $|f(x)|\le M$, автор разбивает отрезок $[-M,M]$ на $-M=t_0<t_1<\ldots<t_k=M$, $k\ge1$, такие что $t_i\not\in D$, и вводит множества $B_i=\{x\colon t_i\le f(x)< t_{i+1}\}$ которые обладают тем свойством что $\Pr(\partial B_i)=0$, что следует из того, что $\partial B_i\subseteq f^{-1}(t_i)\cup f^{-1}(t_{i+1})$ т.к. интервал $f^{-1}(t_i,t_{i+1})$ открыт, и что $t_i,t_{i+1}\not\in D$. Вопрос такой: почему можно выбрать $\{t_i\}_{i=0}^k$ такие что $\max_{0\le i\le k-1}(t_{i+1}-t_i)$ может быть сколь угодно малым? Это важно дальше для док-ва сходимости. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: док-во из книги ширяева по вероятности
Сообщение28.10.2013, 16:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Всё потому же: потому что множество, из которого нельзя выбирать концы, не более чем счётно.

 Профиль  
                  
 
 Re: док-во из книги ширяева по вероятности
Сообщение05.11.2013, 17:19 
Аватара пользователя


14/02/07
93
Ок, понятно, спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group