2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 a^n-b^n=(a-b)*(...???...)
Сообщение02.11.2013, 18:06 


11/08/13
128
Где-то раньше видел формулу

$a^n-b^n=(a-b)(...???...)$

А есть ли такая формула?

$a^n+b^n=(a+b)(...???...)$

 Профиль  
                  
 
 Re: a^n-b^n=(a-b)*(...???...)
Сообщение02.11.2013, 18:12 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Если вместо $(...???...)$ должен стоять многочлен от $a,b$ то нет конечно же. А вы, кстати, понимаете почему ту формулу вверху вы могли где-то видеть?

 Профиль  
                  
 
 Re: a^n-b^n=(a-b)*(...???...)
Сообщение02.11.2013, 18:15 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
boriska в сообщении #783699 писал(а):
А есть ли такая формула?

$a^n+b^n=(a+b)(...???...)$
Для нечётных $n$ есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: a^n-b^n=(a-b)*(...???...)
Сообщение02.11.2013, 18:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Волшебное заклинание: геометрическая прогрессия

 Профиль  
                  
 
 Re: a^n-b^n=(a-b)*(...???...)
Сообщение02.11.2013, 18:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
boriska в сообщении #783699 писал(а):
Где-то раньше видел формулу

$a^n-b^n=(a-b)(...???...)$

Это (с практической точки зрения) есть просто стандартная, деццкая формула для конечной суммы геометрической прогрессии. Во всяком случае, следует сознавать, что это фактически одно и то же. А стоит в той формуле именно минус; тут уж увы.

 Профиль  
                  
 
 Re: a^n-b^n=(a-b)*(...???...)
Сообщение02.11.2013, 18:41 


11/08/13
128
Urnwestek в сообщении #783704 писал(а):
Если вместо $(...???...)$ должен стоять многочлен от $a,b$ то нет конечно же. А вы, кстати, понимаете почему ту формулу вверху вы могли где-то видеть?

Представлял, что многочлен от а и b, что же еще там может быть? Или это сарказм?) Причем многочлен степени $(n-1)$ по каждой из букв...вроде как.
Мог видеть частные случаи $a^1+b^1=a+b$, $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

-- 02.11.2013, 18:42 --

provincialka в сообщении #783706 писал(а):
Волшебное заклинание: геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия по $a$ или по $b$?

-- 02.11.2013, 18:45 --

А, кажется, понятно!!!!

$$\dfrac{a^n-b^n}{a-b}=b^{n-1}\left(\dfrac{1-\left(\frac{a}{b}\right)^n}{1-\left(\frac{a}{b}\right)}\right)=b^{n-1}\left(1+{\left(\frac{a}{b}\right)^1}+\left(\frac{a}{b}\right)^2+....+\left(\frac{a}{b}\right)^{n-1}\right)=b^{n-1}+ab^{n-2}+...+a^{n-1}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: a^n-b^n=(a-b)*(...???...)
Сообщение02.11.2013, 18:50 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Вам же было сказано:
nnosipov в сообщении #783705 писал(а):
Для нечётных $n-1$ есть.
Второй множитель — многочлен степени $n$ с единичными коэффициентами, плюсы чередуются с минусами. Пример: $a^7+b^7=(a+b) \left(a^6-a^5 b+a^4 b^2-a^3 b^3+a^2 b^4-a b^5+b^6\right)$

 Профиль  
                  
 
 Re: a^n-b^n=(a-b)*(...???...)
Сообщение02.11.2013, 18:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
А подставив вместо $b$ значение $-b$, можно получить вторую формулу.

 Профиль  
                  
 
 Re: a^n-b^n=(a-b)*(...???...)
Сообщение02.11.2013, 18:54 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Упс, какой-то глюк движка или браузера. Не увидел ваше сообщение, boriska. А, ясно. Вы правили пост, поэтому и не увидел.

 Профиль  
                  
 
 Re: a^n-b^n=(a-b)*(...???...)
Сообщение03.11.2013, 00:39 
Аватара пользователя


03/10/13
449
boriska в сообщении #783723 писал(а):
Представлял, что многочлен от а и b, что же еще там может быть?


Нет, я о другом, доказательства через геом. прогрессию я не знал, кстати, спасибо provincialka и ewert за объяснения. Я сразу подумал так, представим, что $P(a) = a^n - b^n$ — многочлен от a, то есть $b^n$ — свободный член. Тогда очевидно, что $P(b) = 0$ то есть, $a^n - b^n$ делится на $a - b$. Поделив в столбик $a^n - b^n$ на $a - b$ и получим нужную нам формулу (вернее то, что должно стоять в скобках).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group