По просьбе ishhan: ВТФ и симметричные функции

[Феликс Шмидель]

vasili в сообщении #773781 писал(а):

Уважаемый Феликс Шмидель!
3 Допустим, что

3.1. $X^P^-^1\equiv A\mod P^K$, тогда $X^P\equiv AX\mod P^K$;

3.2. $Y^P^-^1\equiv A\mod P^K$, тогда $Y^P\equiv AY\mod P^K$;

3.3. $Z^P^-^1\equiv A\mod P^K$, тогда $Z^P\equiv AZ\mod P^K$, где

A – натуральное число.

Если эти допущения ошибочны, то мы получим противоречивые сравнения.

Каким образом мы получим противоречивые сравнения, если эти добущения ошибочны?

[vasili]

Уважаемый lasta ! Благодарю за фигурные скобки, проверил "дешифратор" работает.

[vasili]

Уважаемый Феликс Шмидель!

«Ошибочные» сравнения п.2. дают справедливые сравнения п.3., а именно:

$X^P + Y^P-Z^P\equiv A (X + Y-Z)\equiv 0\mod P^K$.

Какой я должен сделать вывод?

И я делаю вывод, что «ошибочные сравнения п.2. являются истинными.

Возможно, моя логика ошибочна, тогда прошу указать на мои заблуждения.

[Феликс Шмидель]

Уважаемый vasili,

Если из утверждения A следует утверждение B, и утверждение B истинно, это не значит, что утверждение A истинно. По законам логики из ложного утверждения можно вывести всё что угодно, в том числе и истинные утверждения.

[ishhan]

Уважаемые господа Vasili и Феликс Шмидель!
А что Вы скажете по поводу алгебраической эквивалентности тройки $(x,y,z) $и троек $(s,y,z),(x,s,z),(x,y,s)$, где $s=-x-y+z$ в теории ВТФ ?
Я намекаю на то, что 1 случай ВТФ доказывается именно благодаря этому свойству.

[Belfegor]

ishhan в сообщении #780217 писал(а):

Я намекаю на то, что 1 случай ВТФ доказывается именно благодаря этому свойству.

Уважаемый ishhan!
Действительно, а в чём проблема с доказательством 1 случая для 3 степени с помощью этого уравнения;
$(x+y-z)^3=3(z-x)(z-y)(x+y)$
Один из сомножителей в правой части кратен трем. Или я чего-то не понял?

[dmd]

(Казус 1-го случая)

Мне вообще не понятна ситуация с этими 1-м и 2-м случаями. Имхо то, что возможен только и только 2-й, т.е. $3\mid xyz$ для равенства $x^3+y^3=z^3$, доказывается элементарными средствами. То же самое касается любого простого показателя степени $n$ для равенства $x^n+y^n=z^n$. Как так получилось, что практически все известные математики, начиная с Эйлера, рассматривали оба случая как равноценные? Это просто удивительно!

[Феликс Шмидель]

dmd в сообщении #780664 писал(а):

(Казус 1-го случая)

Мне вообще не понятна ситуация с этими 1-м и 2-м случаями. Имхо то, что возможен только и только 2-й, т.е. $3\mid xyz$ для равенства $x^3+y^3=z^3$, доказывается элементарными средствами. То же самое касается любого простого показателя степени $n$ для равенства $x^n+y^n=z^n$. Как так получилось, что практически все известные математики, начиная с Эйлера, рассматривали оба случая как равноценные? Это просто удивительно!

(Оффтоп)

Во-первых, давно известно, что 2-й случай гораздо труднее.
Первый случай был доказан для многих показателей $n$ ещё Софи Жермен.
Во-вторых, доказательства даже первого случая для всех $n$ нет (кроме доказательства Уайлза).
В этой теме рассмотрен критерий верности первого случая ВТФ для конкретных показателей.
Но он основывается на теореме Поллачека, которая доказывается не элементарными средствами.
Кроме этого, неизвестно, всегда ли работает этот критерий или нет.

[ishhan]

Belfegor в сообщении #780422 писал(а):

Действительно, а в чём проблема с доказательством 1 случая для 3 степени с помощью этого уравнения;
$(x+y-z)^3=3(z-x)(z-y)(x+y)$
Один из сомножителей в правой части кратен трем. Или я чего-то не понял?

Уважаемый Belfegor!
Ещё раз прошу Вас и Всех "заинтересованных ВТФ энигма" обратить внимание на значимость "мнимого уравнения Ферма" с помощью которого так легко и изящно доказывается 1 случай для показателя $n=3 $
В случае показателя $3$ правая часть "мнимого уравнения Ферма" записывается как: $3(z-x)(z-y)(x+y)$
Один из сомножителей кратен не только трём, но и как Вам хорошо известно, даже девяти) и это ясно из условия целостности куба числа $(x+y-z)^3$
В общем случае, правая часть мнимого уравнения Ферма для простых показателей $n$ записывается как:

$$n(z-x)(z-y)(x+y)W^{n-3}(x,y,-z)$$

, где $W^{n-3}(x,y,-z)$целочисленный симметрический полином от трёх переменных степени $n$.
Условие целостности числа $(x+y-z)^n$ для случая когда ни один из сомножителей $(z-x)(z-y)(x+y)$ не делится на $n$ состоит в том что :

$$W^{n-3}(x,y,-z)\equiv0\mod{n^{n-1}}$$

Если $n=3$, то $W^0(x,y,-z)=1$ и первый случай легко доказывается.
К сожалению, мне не попадалась литература в которой подробно рассматривается полином$ W^{n-3}(x,y,-z)$ составляющий сердцевину тождества:

$$(x+y-z)^n-x^n-y^n+z^n=n(z-x)(z-y)(x+y)W^{n-3}(x,y,-z) $$

Может кто нибудь рассматривал его?
Я составил системы уравнений для нахождения коэффициентов $W^{n-3=(i+j+k)}_{i,j,k} $
Причём, число соотношений которые определяют уравнения системы для определения коэффициентов оказывается даже больше чем нужно.
И ещё интересный факт, должно быть связан с ВТФ:

$$(x+y-z)^n-x^n-y^n+z^n=n^n$$

Это уравнение разрешимо в натуральных числах $x,y,z$ и для простых показателей $n$ только в случае $n=2$.
Буду рад услышать Ваши комментарии.

[Belfegor]

ishhan в сообщении #782103 писал(а):

К сожалению, мне не попадалась литература в которой подробно рассматривается полином$ W^{n-3}(x,y,-z)$ составляющий сердцевину тождества:

$$(x+y-z)^n-x^n-y^n+z^n=n(z-x)(z-y)(x+y)W^{n-3}(x,y,-z) $$

Уважаемый ishhan!

Это тождество доказано? Или это чьё-то озарение?
И что получается... для доказательства 1 случая для степени $n$ необходимо показать взаимную простоту сомножителей в правой части уравнения, получаемого из-этого тождества при $-x^n-y^n+z^n=0$ в левой части?

[ishhan]

Belfegor в сообщении #782293 писал(а):

$$(x+y-z)^n-x^n-y^n+z^n=n(z-x)(z-y)(x+y)W^{n-3}(x,y,-z) $$

Это тождество доказано? Или это чьё-то озарение?
И что получается... для доказательства 1 случая для степени $n$ необходимо показать взаимную простоту сомножителей в правой части уравнения, получаемого из-этого тождества при $-x^n-y^n+z^n=0$ в левой части?

Это тождество доказано для простых показателей $n$ , но мало изучено. И лично моё озарение)
Взаимная простота любого из трёх линейных множителей $(z-x)$,$(z-y)$,$(x+y)$ и $W^{n-3}(x,y,-z)$ доказывается довольно просто.
Для доказательства нужно предположить:
1) Верность уравнения Ферма или мнимого уравнения Ферма

$$(x+y-z)^n=n(z-x)(z-y)(x+y)W^{n-3}(x,y,-z) $$

для тройки попарно простых $x,y,z$
2)Предположить, что $z-x$ целое число и делится на $q$ - целое число
Из этого следует, что $x+y-z $ делится на $q$

Далее из условий целостности числа$ (x+y-z)^n$ следует, что $W^{n-3}(x,y,-z)$ делится на $q$ и воспользоваться свойством инвариантности $W^{n-3}(x,y,-z)$ относительно замены любого из трёх переменных $x,y,-z$ на обратную сумму всех остальных .

$$W^{n-3}(x,y,-z)=W^{n-3}(x,y,-x-y+z)=W^{n-3}(x,-x-y+z,-z)=W^{n-3}(-x-y+z,y,-z)$$

$$W^{n-3}(x,-z,0)=W^{n-3}(-x+z,x,0)=W^{n-3}(x,-x+z,0)=W^{n-3}(x,-z,-x+z)$$

Отсюда можно получить, что и $z$ и $x$ делятся на $q$, а это противоречит предположению о попарной взаимной простоте в тройке целых чисел $x,y,-z$.

[Belfegor]

ishhan в сообщении #783442 писал(а):

Отсюда можно получить, что и $z$ и $x$ делятся на $q$, а это противоречит предположению о попарной взаимной простоте в тройке целых чисел $x,y,-z$.

Уважаемый ishhan!
То есть вы презентуете самое простое доказательство для 3 степени?

А вот уважаемый Феликс Шмидель видит такой путь:

Феликс Шмидель в сообщении #783523 писал(а):

Подъём для ВТФ $n=3$ - задача простая, ввиду тождества:

$(x(x^3+2 y^3))^3-(y(2 x^3+y^3))^3=(x^3+y^3)(x^3-y^3)^3$.

Если соединить это тождество с теоремой немецкого математика Герда Фальтингса, который в 1983 году доказал гипотезу Морделла, из которой следует конечность числа решений уравнения Ферма, то мы получим, наверное самое простое доказательство ВТФ для $n=3$.

[ishhan]

Belfegor в сообщении #783528 писал(а):

А вот уважаемый Феликс Шмидель видит такой путь:
Феликс Шмидель в сообщении #783523
писал(а):
Подъём для ВТФ $n=3$ - задача простая, ввиду тождества:

$(x(x^3+2 y^3))^3-(y(2 x^3+y^3))^3=(x^3+y^3)(x^3-y^3)^3$.

Если соединить это тождество с теоремой немецкого математика Герда Фальтингса, который в 1983 году доказал гипотезу Морделла, из которой следует конечность числа решений уравнения Ферма, то мы получим, наверное самое простое доказательство ВТФ для $n=3$.

Уважаемый Belfegor!
Вам не кажется странноватым тот факт, что это тождество для двух переменных?
По поводу конечности числа решений для $n=3$ можно было бы обсудить и следующий момент: минимальное возможное значение числа $(x+y-z)$ при котором возможно ненулевое решение.
Благодаря тождеству $(x+y-z)^3=3(z-x)(z-y)(x+y)$ и условию целостности для числа $(x+y-z)$ можно заключить, что оно должно быть произведением не менее чем трёх попарно простых чисел одно из которых $3$ второе $2$ а третье не менее чем $5$ .
И поэтому можно сказать, что ВТФ для $n=3$ возможно только в случае $ x+y-z>30$.
Этот факт мне лично не нравится и кажется подозрительным
Вот для $n=2 $ и соответствующего аналога уравнения Пифагора $(x+y-z)^2=2(z-x)(z-y)$ всё чудесно и гладко, так как решения существуют для всех $x+y-z$ кратных двум, то есть кратным показателю степени. Простейший тому пример тройка $(3,4,5)$
Поэтому с моей "любительской точки зрения" для показателя $n=3$ должны существовать решения $x+y-z=3q$ для $q=1$.
Поэтому ещё раз обращаю ваше внимание на то, что форма $(x+y-z)^n-x^n-y^n+z^n$ раскладывается в произведение алгебраических сомножителей для всех без исключения простых чисел и я надеюсь на то, что когда-нибудь это будет использовано в одном из альтернативных доказательств ВТФ.

[Феликс Шмидель]

Должен извиниться за ошибку.
Теорема Фальтингса утверждает конечность числа решений для кривых рода $>1$.
Род кривой степени $n$ равен $(n-1)(n-2)/2$, поэтому из теоремы Фальтингса не следует конечность числа решений для $n=3$.

[vasili]

Уважаемый ishhan! Вы пишете "Далее из условий целостности числа$ (x+y-z)^n$ следует, что

$W^{n-3}(x,y,-z)$ делится на $q$".

Откуда Вы это взяли?