2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Cтранное неравенство (Зорич V.3.6a)
Сообщение26.10.2013, 17:41 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Задача: Пусть $f \in C^{(n)}(-1,1)$ и $\sup\limits_{-1 \leq x \leq 1} |f(x)| \leq 1$. Пусть $m_k(I) = \inf\limits_{x \in I} |f^{(k)}(x)|$, где $I$ — промежуток, содержащийся в интервале $(-1,1)$. Покажите, что если $I$ разбит на три последовательных промежутка $I_1, I_2, I_3$, и $\mu$ — длина $I_2$. То выполняется неравенство $m_k(I) \leq \frac{1}{\mu} (m_{k-1}(I_1)+m_{k-1}(I_3));$

Но разве это верно? Если в качестве $f$ взять выпуклую убывающую функцию, то $m_2(I)>0$, но $\frac{1}{\mu}(m_1(I_1)+m_1(I_3))<0$ (так как вторая производная везде положительна, а первая везде отрицательна). Что я делаю не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Cтранное неравенство (Зорич V.3.6a)
Сообщение26.10.2013, 17:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
В определении $m_k$ стоит модуль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Cтранное неравенство (Зорич V.3.6a)
Сообщение26.10.2013, 18:01 
Аватара пользователя


03/10/13
449
gris в сообщении #780490 писал(а):
В определении $m_k$ стоит модуль.

Точно же... Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Cтранное неравенство (Зорич V.3.6a)
Сообщение27.10.2013, 17:51 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Прошу проверить решение.

Решение:
Будем доказывать по индукции, пусть $k=1$.
1) Утверждение очевидным образом верно, когда у $f$ на $I$ есть точка, в которой производная обращается в ноль. Будем, без потери общности, считать что у $f$ производная всюду положительна, т.е. $f$ — строго возрастающая, ограниченная (ограниченность следует из условия задачи) функция. Для строго убывающих функций рассуждения будут аналогичные.
2) Так как $f$ строго возрастающая, непрерывная и ограниченная, то её можно доопределить по непрерывности на концах промежутка $I$ и считать, без потери общности, что $I$ — это отрезок. Точно так же доопределим и промежутки $I_1$, $I_2$, $I_3$. У нас получится следующее:
Пусть $a$ — это начало отрезка $I_1$, а $b$ — это начало отрезка $I_3$ и конец отрезка $I_2$, тогда:
$m_0(I_1)=|f(a)|$
$m_0(I_3)=|f(b)|$
Оба тождества следуют из возрастания функции $f$ на $I_1$ и $I_3$.
3) Теперь надо доказать $m_1(I) \leq \frac{1}{\mu} (|f(a)|+|f(b)|);$ Оценим $m_1(I)$ сверху (любое значение производной функции $f$ на отрезке $I$ будет оценкой $m_1(I)$ сверху, это следует из определения $m_1(I)$ как инфимума производных). Заметим, что на отрезке $[a,b]$ выполняются все условия теоремы Лагранжа, то есть $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\zeta)$, так как $m_1(I) \leq f'(\zeta) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ получим, что если верно: $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\leq \frac{1}{\mu} (|f(a)|+|f(b)|)$ то верно и само утверждение задачи.
4) Отсюда $f(b)-f(a) \leq \frac{b-a}{\mu} (|f(a)|+|f(b)|)$ из возрастания функции $f$, и определений $b,a,\mu$ можно сделать вывод, что $\mu \leq b-a \leftrightarrow \frac{b-a}{\mu} \geq 1$ и $f(b)-f(a) \leq |f(b)|+|f(a)|$, следовательно, неравенство верно.
5) Все эти рассуждения можно повторить и для $k\ne1$ достаточно заметить, что производная возрастающей ограниченной функции — ограничена.

UPD: Поправил неточность с модулями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Cтранное неравенство (Зорич V.3.6a)
Сообщение27.10.2013, 18:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Сразу пятый пункт по глазам резанул.
Это да, для среднего участка выполняется. А для крайнего? $0.3\sqrt {1+x}$, например.

 Профиль  
                  
 
 Re: Cтранное неравенство (Зорич V.3.6a)
Сообщение27.10.2013, 18:07 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Да, действительно, почему-то мне это показалось очевидным, а оно как всегда... Подумаю ещё. Остальные пункты можете проверить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Cтранное неравенство (Зорич V.3.6a)
Сообщение27.10.2013, 21:16 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Нашёл довольно много ошибок и неточности в своём доказательстве, так что проверять его не стоит...

 Профиль  
                  
 
 Re: Cтранное неравенство (Зорич V.3.6a)
Сообщение04.11.2013, 00:26 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Ну если причесать и вставить пропущенное, так вполне даже ничего.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group