2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Формула полной вероятности и Бернулли
Сообщение20.10.2013, 17:39 
Аватара пользователя


20/10/13
39
Rostov-on-Don
Добрый вечер, уважаемые форумчане. Есть две задачки:

1. Есть две урны. В первой урне находятся 3 белых и 6 черных шара, во второй – 4 белых и 4 черных. Наугад выбирается урна и из нее извлекаются 2 шара. Какова вероятность того, что они окажутся черными?

Решение: Пусть событие Н1 = {извлечены шары из 1й урны}, событие Н2= {извлечены шары из 2й урны}, $P(H_{1})=P(H_{2})=\frac 1 2$. Событие А = {извлечено 2 чёрных шара}. $P(A \mid H_{1})=\frac {C_{6}^{2}} {C_{9}^{2}} = \frac {5} {12}$, $P(A \mid H_{2})= \frac {C_{4}^{2}} {C_{8}^{2}}= \frac {3} {14}$. Воспользуемся формулой полной вероятности: $P(A)=P(H_{1}) \cdot P(A \mid H_{1})+P(H_{2}) \cdot P(A \mid H_{2} )= \frac {53} {168} \approx 0.315$

здесь мне кажется, что я справилась с решением, но не уверена до конца.

2.Случайное событие А в каждом из 160 повторных независимых испытаний происходит с вероятностью 1/3. Найти (а) вероятность того, что это событие произойдет 20 раз, (б) вероятность того, что событие произойдет от 15 до 30 раз.

Решение: (а) Воспользуемся формулой Бернулли: $P_{n}(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k},n=160, k=20, p= \frac 1 3, q=1-p=1- \frac 1 3= \frac 2 3$.

$P_{160} (20)=C_{160}^{20} \cdot (\frac 1 3)^{20} \cdot (\frac 2 3)^{140}= \frac {160!} {20!140!} \cdot \frac {2^{140}} {3^{160}} $
(б)
$P_{160} (15 \leqslant k \leqslant 30)=P_{160} (15)+P_{160} (16)+P_{160} (17)+P_{160} (18)+P_{160} (19)+P_{160} (20)+P_{160} (21)+P_{160} (22)+P_{160} (23)+P_{160} (24)+P_{160} (25)+P_{160} (26)+P_{160} (27)+P_{160} (28)+P_{160} (29)+P_{160} (30)$

А вот во второй задаче у меня ступор. В (а) получилась очень громоздкая дробь, вычисляется прямо-таки не очень. А вот в (б) вообще не понимаю, неужели нужно считать здоровенные дроби 15 раз? Может, я что-то не так делаю?

Заранее благодарю за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула полной вероятности и Бернулли
Сообщение20.10.2013, 17:48 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
1) Правильно.
2) Кто ж это так считает. Предельных теорем для схемы Бернулли совсем-совсем не было?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула полной вероятности и Бернулли
Сообщение20.10.2013, 18:46 
Аватара пользователя


20/10/13
39
Rostov-on-Don
Otta в сообщении #777676 писал(а):
1) Правильно.
2) Кто ж это так считает. Предельных теорем для схемы Бернулли совсем-совсем не было?


когда в университете училась, были, конечно, но со временем забылись...итак, почитала, получается в моем случае: а) локальная теорема Муавра-Лапласа
$x=\frac {m-np} {\sqrt{npq}} = \frac{20-160\cdot \frac 1 3} {\sqrt {160\cdot \frac 1 3 \cdot \frac 2 3}} = \frac {-\frac {100}{3}}{\frac{8\sqrt{5}} {3}} = -\frac{50}{4\sqrt{5}} \approx -5.56  $

Таблица значений локальной функции Лапласа только до 4х, а у меня значение -5,56. Снова где-то ошиблась? :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула полной вероятности и Бернулли
Сообщение20.10.2013, 18:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
А вы Excel не пользуетесь? Там все стандартные распределения запрограммированы. (В том числе Бернулли можно посчитать для любых значений)

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула полной вероятности и Бернулли
Сообщение20.10.2013, 19:02 
Аватара пользователя


20/10/13
39
Rostov-on-Don
provincialka в сообщении #777710 писал(а):
А вы Excel не пользуетесь? Там все стандартные распределения запрограммированы. (В том числе Бернулли можно посчитать для любых значений)


Мне нужно самой разобраться, как, почему и что, а то, что Эксель хорошо считает, я знаю, но, к сожалению, он мне не объяснит должным образом логику решений, которая для меня крайне важна :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула полной вероятности и Бернулли
Сообщение20.10.2013, 19:03 


29/08/11
1759
paradiseva
Для функции Лапласа при $x>4$ принимают $\text{Ф}(x)=\frac{1}{2}$.

-- 20.10.2013, 20:07 --

paradiseva в сообщении #777703 писал(а):
а) локальная теорема Муавра-Лапласа
$x=\frac {m-np} {\sqrt{npq}} = \frac{20-160\cdot \frac 1 3} {\sqrt {160\cdot \frac 1 3 \cdot \frac 2 3}} = \frac {-\frac {100}{3}}{\frac{8\sqrt{5}} {3}} = -\frac{50}{4\sqrt{5}} \approx -5.56  $

Таблица значений локальной функции Лапласа только до 4х, а у меня значение -5,56. Снова где-то ошиблась? :facepalm:


Только Вам нужна функция Гаусса, если не ошибаюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула полной вероятности и Бернулли
Сообщение20.10.2013, 19:07 
Аватара пользователя


20/10/13
39
Rostov-on-Don
Limit79 в сообщении #777718 писал(а):
paradiseva
При $x>4$ принимают $\text{Ф}(x)=\frac{1}{2}$.


Да, верно, мне нужно значение $\varphi(x)$ функции Гаусса, я использую не интегральную, а локальную теорему. В таблице строго до 4х значения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула полной вероятности и Бернулли
Сообщение20.10.2013, 19:10 


29/08/11
1759
В первом случае - локальная формула Муавра-Лапласа (там нужна функция Гаусса, которая $\varphi (x)$).

Во втором - интегральная формула Муавра-Лапласа (там нужна функция Лапласа, которая $\text{Ф}_{0} (x)$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула полной вероятности и Бернулли
Сообщение20.10.2013, 19:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
paradiseva в сообщении #777703 писал(а):
Таблица значений локальной функции Лапласа только до 4х, а у меня значение -5,56. Снова где-то ошиблась? :facepalm:

А подставить в формулу и посчитать $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi n p q}}e^{-x^2/2}=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi n p q}}e^{-\frac{(m-np)^2}{2npq}}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула полной вероятности и Бернулли
Сообщение20.10.2013, 19:16 


29/08/11
1759
paradiseva в сообщении #777721 писал(а):
Да, верно, мне нужно значение $\varphi(x)$ функции Гаусса, я использую не интегральную, а локальную теорему. В таблице строго до 4х значения.


$\varphi(-x) = \varphi(x)$, при $x>3.9$ принимают $\varphi(x)=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула полной вероятности и Бернулли
Сообщение20.10.2013, 19:38 
Аватара пользователя


20/10/13
39
Rostov-on-Don
--mS-- в сообщении #777725 писал(а):
paradiseva в сообщении #777703 писал(а):
Таблица значений локальной функции Лапласа только до 4х, а у меня значение -5,56. Снова где-то ошиблась? :facepalm:

А подставить в формулу и посчитать $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi n p q}}e^{-x^2/2}=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi n p q}}e^{-\frac{(m-np)^2}{2npq}}$?


даже не подумала об этом, спасибо за подсказку. Так, подставляю:
$\dfrac{1}{\sqrt{2\pi n p q}}e^{-\frac{(m-np)^2}{2npq}}$ = \dfrac{1}{\sqrt{2 \cdot 3.14 \cdot 160 \cdot \frac{1} {3} \cdot \frac{2}{3}}}e^{-\frac{(20-
\frac{160}{3})^2}{2 \cdot 160 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}}} =\frac{3}{\sqrt{2009.6}}2.7^{-15.625} \approx 0.121

и тогда у меня получается: $P_{160}(20) = \frac {0.121} {\sqrt{160 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}}}$ \approx \frac {0.121} {5.963} \approx 0.02

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула полной вероятности и Бернулли
Сообщение20.10.2013, 20:24 


29/08/11
1759

(MathCad)

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула полной вероятности и Бернулли
Сообщение20.10.2013, 20:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Напрасно Вы дважды делили на $\sqrt{npq}$. Он уже есть в формуле. И никак не могло $2.7^{-15.625}$ (и еще делить на что-то) получиться таким большим (ну это уже Limit79 написал).

Ну и потом: если в качестве $e$ брать $2.7$, а в качестве $\pi$ - $3.14$, то ни к чему вообще что-то считать. Если взять ноль, как советовали выше, и то точнее будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула полной вероятности и Бернулли
Сообщение20.10.2013, 22:26 
Заслуженный участник


12/08/10
1608
Относительная погрешность порядка 10%. Это лучше чем 100% погрешности. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Формула полной вероятности и Бернулли
Сообщение20.10.2013, 22:47 
Аватара пользователя


20/10/13
39
Rostov-on-Don
--mS--, Limit79
спасибо огромное! Внимательно села, пересчитала, получилось похоже на правду! Решение в чистом виде оформила так:
Изображение

пункт (б) решала по интегральной теореме Муавра-Лапласа, вроде бы все понятно, но вероятность у меня получается отрицательной, чего быть в принципе не может. Либо я неправильно применила формулу, либо все-таки значение функции Лапласа нашла неправильные. Подскажите, пожалуйста.
Изображение

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group