2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение в целых
Сообщение17.10.2013, 21:38 


16/03/11
844
No comments
Решить уравнение в целых неотрицательных числах:
$$5^x7^y+4=3^z$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в целых
Сообщение18.10.2013, 12:14 
Заслуженный участник


18/01/12
933
Ответ: $x=1,\ y=0,\ z=2.$

Рассмотрим 2 случая:

I) $z$ чётное.
$5^x7^y=3^z-4=(3^{\frac z2}-2)(3^{\frac z2}+2),$ откуда $5^x=7^y\pm 4.$
По модулю 4 получаем $y$ чётное. Тогда $5^x\equiv 49^{\frac y2}\pm 4\equiv \pm 1\pm 4 (\mod 25),$ откуда $x=1.$

II) $z$ нечётное.
Тогда по модулю 8 получаем $y$ нечётное, $x$ чётное. А по модулю 3 получаем $x$ нечётное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в целых
Сообщение18.10.2013, 14:44 


16/03/11
844
No comments
hippie
Все так, только факт того что z-- четно можно доказать просто рассмотрением модуля 5)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group