2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 равномерная интегрируемость сл. величин
Сообщение06.10.2013, 01:50 
Аватара пользователя


14/02/07
93
Здравствуйте, интересует следующий вопрос: известно, что для сходимости последовательности сл. величин $\{\xi_n\}_{n\ge1}$ к сл. величине $\xi$ в смысле $L_1$ необходимо и достаточно чтобы последовательность $\{\xi_n\}_{n\ge1}$ сходилась к $\xi$ по вероятности и чтобы $\{\xi_n\}_{n\ge1}$ была равномерно интегрируема, т.е. обладала бы свойством:
$$
\sup_n E[|\xi_n|;|\xi_n|\ge c]\to0
$$
при $c\to\infty$.

Из $L_1$ сходимости как известно следует сходимость по вероятности. Пытаюсь показать что из $L_1$ сходимости следует равномерная интегрируемость.
$$
|\xi_n|-|\xi|\le|\xi_n-\xi|\;\Rightarrow\;
E[|\xi_n|;|\xi_n|>c]-E[|\xi|;|\xi_n|>c]\le E[|\xi_n|]-E[|\xi|]\le E[|\xi_n-\xi|].
$$
откуда получается что $E[|\xi_n|;|\xi_n|>c]\le E[|\xi|;|\xi_n|>c]+ E[|\xi_n-\xi|].$ Второй член справа можно сделать сколь угода малым. Не могу сообразить как уменьшить первый член справа. Нужно использовать что $\xi$ и $\xi_n$ принадлежат $L_1$ но не соображу как именно? Заранее спасибо за помощь.

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная интегрируемость сл. величин
Сообщение06.10.2013, 04:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Множество $\{|\xi_n|>c\}$ можно вложить в множество
$$\{|\xi_n|>c\}=\{|\xi_n-\xi+\xi|>c\}\subseteq \{|\xi_n-\xi|+|\xi|>c\}\subseteq \{|\xi_n-\xi|>1\}\cup\{|\xi|>c-1\},$$
поэтому
$$\mathsf E(|\xi|; \, |\xi_n|>c)\leqslant \mathsf E(|\xi|;\, |\xi_n-\xi|>1)+\mathsf E(|\xi|;\, |\xi|>c-1).$$
В правой части второе слагаемое с ростом $c$ стремится к нулю, в первом слагаемом интеграл по множеству, вероятность которого стремится к нулю. Можно и дальше пойти, и разбить первое слагаемое на
$$\mathsf E(|\xi|;\, |\xi_n-\xi|>1) = \mathsf E(|\xi|;\, |\xi_n-\xi|>1, \, |\xi|>K)+\mathsf E(|\xi|;\, |\xi_n-\xi|>1, \, |\xi|\leqslant K)\leqslant $$ $$\leqslant\mathsf E(|\xi|;\, |\xi|>K) + K\mathsf P(|\xi_n-\xi|>1).$$

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная интегрируемость сл. величин
Сообщение18.10.2013, 13:13 
Аватара пользователя


14/02/07
93
Ок, спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group