доказательство теоремы Пикара

[Таня Тайс]

В доказательстве существования решения дифф. ур-я с начальными условиями используется теорема о неподвижной точке.
Почему нельзя с помощью этой же теоремы доказывать единственность решения?

[Дмитрий Хованский]

Попробую ответить. Если окажусь неправ - пусть мэтры меня поправят.

Прежде всего конкретизируем вопрос. Будем говорить о локальном существовании и единственности решения задачи Коши для ОДУ первого порядка, разрешенного относительно производной: $\dot x=f(t,x)$. При доказательстве теоремы вводится интегральный оператор
$Au\equiv x_0 + \int\limits_{t_0}^t f(\tau,u(\tau))d\tau $. Решение уравнения - есть функция, удовлетворяющая $Au=u$. Если использовать только непрерывность производной $f_x$ (а не липшицевость для всех допустимых $t,x$ или равномерную ограниченность этой производной), то доказать сжимаемость интегрального оператора можно только за счет малости рассматриваемой области по $t$. Область, где рассматривается решение - прямоугольник $\{|t-t_0|\leq r,\ |x-x_0|\leq a\}$. Множество непрерывных функций, графики которых лежат в этой области обозначим за $\Omega_r$. Оператор $A$, таким образом, действует из $\Omega_r$ в $\Omega_r$. Важно, что $r$ здесь выбирается так, чтобы оператор был сжимающий. Таким образом получается локальная теорема существования.

Если далее мы хотим говорить о единственности и доказывать ее используя ту же теорему о неподвижной точке нам нужно, чтобы графики любых двух решений лежали в области $\Omega_r$. Но эта область вообще говоря уже, чем пересечение областей определения двух решений. Таким образом мы имеем право применить теорему о единственности неподвижной точки только там, где два решения определены и "сжимаются" (в их "общем" $\Omega_{r^*}$). Вопрос о совпадении решений на всем пересечении их областей определения доказывается отдельно и не может использовать теорему о неподвижной точке.

Что касается глобальной разрешимости, то, наверное, есть много способов доказательства сответствующей теоремы. Мне известен один, где исходя из липшицевости правой части для всех допустимых $t,x$ или равномерной ограниченности производной $f_x$ формируются последовательные приближения решения, хотя оператор не является сжимающим. Более подробно можно посмотреть в книге Л. С. Понтрягина "ОДУ", доказательство теоремы 3. Эта теорема говорит о глобальной разрешимости линейных систем, но схема может быть применена и к более общим уравнениям.

[Таня Тайс]

Прежде всего огромное спасибо!
И наверное, Вы правы в том, что это только локальное утверждение, звучит разумно!
..Хотя если решение локально единственное, удовлетворяющее начальным условиям, то глобально не может быть вторoго такого,если начальная точка лежит в этой маленькой окрестности.. Мне надо ещё подумать.

Дмитрий Хованский писал(а):

Если использовать только непрерывность производной (а не липшицевость для всех допустимых или равномерную ограниченность этой производной)

В задачнике Филиппова и некоторых других книгах написано,
что для существования решения достаточно непрерывности правой части, но решение не обязательно будет единственным.

При доказательстве существования однако мы используем локальное свойство липшицевости, которое не всегда выполняется.

Например $x'=\sqrt{|x|}$ функция не удовл. усл. Липшица в нуле и ур-е имеет там два решения.
Т. е. получается, что для док-ва существования решения тоже нельзя использовать теорему о неподвижной точке,
т.к. мы используем "сжимаемость интегрального оператора" , а он не будет сжимающим, если функция не липшицевая.

Наверное, то другое док-во из книги Понтрягина очень сложное (поэтому нам его не дали), но попытаюсь его найти и понять.

И еще вопрос- условие Липшица более слабое требование, чем непрерывность производной, а почему ограниченность называется равномерной? Что значит- равномерно ограничена? Я всегда думала, что ограниченность производной означает конечность..

[AD]

Таня Тайс писал(а):

а почему ограниченность называется равномерной? Что значит- равномерно ограничена? Я всегда думала, что ограниченность производной означает конечность..

Равномерная ограниченность набора функций означает, что все функции из данного набора ограничены одной и той же константой.

[Таня Тайс]

AD писал(а):

Равномерная ограниченность набора функций означает, что все функции из данного набора ограничены одной и той же константой.

Если они все конечны, то их всегда можно ограничить одной константой.

[Brukvalub]

Таня Тайс писал(а):

Если они все конечны, то их всегда можно ограничить одной константой.

Семейство функций у=с для всевозможных с содержит только конечные функции, попробуйте теперь ограничить их одной константой

[Таня Тайс]

Ну хорошо, нельзя или не всегда можно, но обратное верно- если они равномерно ограничены, значит конечны.
В любом случае мы пользуемся пpи док-ве существования условием Липшица, пусть локальным.

А как же быть с утверждением, что достаточно одной непрерывности функции?

Книгу Понтрягина нашла в интернете, буду читать. Дай бог вам здоровья!

[Дмитрий Хованский]

Таня Тайс

Вообще, если аккуратно рассматривать уравнение (или нормальную систему) $\dot{x}(t)=f(t,x(t))$ с начальным условием $x(t_0)=t_0$, то можно выделить четыра основных варианта:

1) Решения вообще не существует ни в какой окрестности начальной точки. Для этого правая часть должна быть "сильно разрывна". Например, $\dot{x}(t)=-sign x(t)+1/2$, $x(0)=0$.

2) Решение локально существует, но не единственно. Например, $\dot{x}(t)=3\sqrt{x^2}$. Этот пример оказывается довольно харизматический
Это происходит, если правая часть просто непрерывна хотя бы в окрестности начальной точки (это называется теорема Пеано)

3) Решение существует локально и единственно (это происходит, если правая часть непрерывна и имеет непрерывную производную по $x$). Например, $\dot{x}(t)=x^2(t)$, $x(0)=1$. Но здесь не имеет место глобальная разрешимость. Для глобальной разрешимости, как правильно заметил AD нужна именно равномерная ограниченность производной или равномерная липшицевость, то есть соответствующая константа не зависит от $x$. Очевидно, что с $x^2$ такое не проходит (для липшицевости надо было бы $|x_1^2-x_2^2|\leq K|x_1-x_2|$, где $K$ не зависит от $x_1$ и $x_2$, а есть только $|x_1^2-x_2^2|\leq|x_1+x_2||x_1-x_2|$).

4) Ну, и наконец, решение существует глобально и единственно. Таких примеров больше всего.

Что же касается

Цитата:

..Хотя если решение локально единственное, удовлетворяющее начальным условиям, то глобально не может быть вторoго такого,если начальная точка лежит в этой маленькой окрестности.. Мне надо ещё подумать.

то очень советую еще раз посмотреть соседнюю тему.

Добавлено спустя 19 минут 20 секунд:

Да и еще

Цитата:

для док-ва существования решения тоже нельзя использовать теорему о неподвижной точке,
т.к. мы используем "сжимаемость интегрального оператора" , а он не будет сжимающим, если функция не липшицевая.

В случае локальной теоремы можно сказать, что мы не использовали глобальную липшицевость. Только непрерывность правой части по $x$. Из этой непрерывности следовала формула Лагранжа для правой части $|f(t,x_1)-f(t,x_2)|=|\frac{\partial f(t,x^*)}{\partial x}(x_1-x_2)|\leq K|x_1-x_2|$.
И далее сжимаемость достигалась именно за счет малости области и выбора $r$ в $\Omega_r$ (см. Понтрягин доказательство теоремы 1).

[Таня Тайс]

Дмитрий Хованский писал(а):

В случае локальной теоремы можно сказать, что мы не использовали глобальную липшицевость.

Как я понимаю, мы использовали локальную липшицевость. Условие, Вами записанное, выглядит для меня как локально выполненное условие Липшица (Которое следует из равномерной ограниченности производной, но не из простой непрерывности).

Дмитрий Хованский писал(а):

Это происходит, если правая часть просто непрерывна хотя бы в окрестности начальной точки (это называется теорема Пеано)

А не посоветуете,где можно было бы найти доказательство этой теоремы?

В основном всё стало намного понятнее, спасибо за помощь.

[Дмитрий Хованский]

Доказательство этой теоремы можно найти в книге Хартмана Ф. "ОДУ" (это на бибилиотеке колхоза).

Также очень советую книгу И. Г. Петровского "Лекции по теории ОДУ". Здесь можно найти еще теорему Осгуда единственности решения.

Наконец, могу посоветовать книгу Федорюка "ОДУ". Довольно сложный и интересный материал.

Да и все, пожалуй.