2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теория Вероятности
Сообщение08.10.2013, 01:17 


31/01/11
97
Вы вошли на двор дома, в который ведут 3 двери ( в комнаты). В каждой комнате обнаруживаете еще 3 двери, которые ведут в новые комнаты и тд. Вы понимаете, что дом устроен ярусами. Двери со двора в комнаты первого яруса, из тех во второй и тд. Из последнего $n$ яруса двери ведут в сад. Побродив по дому вы возвращаетесь во двор и обнаруживаете, что некоторые двери затворились с вероятностью $1/3$ независимо от остальных.
Найти вероятность, что при больших $n$ вы сможете пройти сквозь дом в сад.

Ответ ($\approx0.95$) но как получить не понимаю... :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятности
Сообщение08.10.2013, 06:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Это полное троичное дерево, у которого в узлах сидят единички и нули с соттветствующими вероятностями. Надо найти вероятность существования единичной ветви.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятности
Сообщение08.10.2013, 06:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb

(Оффтоп)

теория вероятностИ?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятности
Сообщение08.10.2013, 08:46 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Какова вероятность перейти из какой-либо комнаты $k$-го яруса на $(k+1)$-й ($k = 0, 1, \ldots n-1$)?
Но вот это
boomeer в сообщении #772285 писал(а):
Ответ ($\approx0.95$)

не получится никак, если, конечно, в тексте задачи Вы ничего не пропустили. Откуда ответ взялся?

-- Вт окт 08, 2013 10:05:22 --

gris в сообщении #772308 писал(а):
Это полное троичное дерево, у которого в узлах сидят единички и нули с соттветствующими вероятностями. Надо найти вероятность существования единичной ветви.

В принципе, никто не запрещал из нескольких комнат текущего яруса вести в одну комнату следующего яруса. Например, на втором ярусе может быть всего три комнаты...

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятности
Сообщение08.10.2013, 09:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Если я правильно понял, то ищется не вероятность выйти на свободу только при продвижении вперёд. Эта вероятность стремится к нулю. А вот если можно возвращаться, то достаточно существования хотя бы одного сквозного прохода. Кажется, что эта вероятность стремится к единице, но, скорее всего, там какой-нибудь второй зампредел и в ответе будет что-то с $e$.

Мне кажется, что возможность склеивания комнат делает задачу неопределённой. Допустим, что на каждом ярусе три комнаты и каждая соединена с каждой на соседних ярусах. Тогда вероятность прохода стремится к нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятности
Сообщение08.10.2013, 10:30 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
gris, похоже Вы правы.
В таком случае имеем $3^n$ путей, вероятность прохождения по каждому - $(2/3)^n$.
Если бы вероятность прохождения была бы равна $(1/3)^n$, получили бы известную классическую задачу с ответом $1-e^{-1}$. А так - вроде бы к 1 стремится. Или я ошибаюсь?

-- Вт окт 08, 2013 11:44:54 --

Ну да, понял, где ошибся - события: прохождение по пути, конечно же, не независимы...

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятности
Сообщение08.10.2013, 10:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
А будут ли пути независимы, чтобы можно было применять умножение вероятностей? Надо посмотреть на укороченном примере.
Мы одинаково думаем :-)
Но что-то ТС молчит. В принципе аналогичная ситуация, наверное, для двоичных деревьев. И ответ зависит от вероятности закрытия двери.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятности
Сообщение08.10.2013, 10:54 


31/01/11
97
Cash в сообщении #772333 писал(а):
Откуда ответ взялся?

Ответ идет вместе с задачей.
Пути независимы

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятности
Сообщение08.10.2013, 11:16 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Угу. ответ похоже правильный.
Вероятность застопориться еще во дворе - 1/27. Вероятность, что во дворе открыта ровно одна дверь в тупиковую комнату - $(1/9 \cdot 1/27) \cdot 3$. Аналогично, считаем - во дворе открыты 2 и 3 двери в тупиковые комнаты. Эти вероятности уже будут сильно меньше. То есть вероятность заглохнуть на 0-м и 1-м уровнях $1/27+1/81+... = 0.049... + ...$. Всё остальное дает весьма небольшой вклад. Нужно только аккуратно расписать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятности
Сообщение08.10.2013, 13:14 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Естественно посчитал с ошибками :))
Но мысль такая: на каждом ярусе считаем количество комнат до которых можно добраться.
0-й уровень - $x_0 = (0, 1, 0, \ldots)$
1-й уровень - $x_1= (\frac 1{27}, \frac 6{27}, \frac {12}{27}, \frac 8{27}, 0 , \ldots)$
соответственно $x_{20}= \frac 1{27} + \frac 6{27} \cdot \frac 1{27} + \frac {12}{27}\cdot \frac 1{27^2}+ \frac 8{27} \cdot \frac 1{27^3}$
и т.д.
Путь трудоемкий и некрасивый.
Подумаю над другими идеями...

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятности
Сообщение08.10.2013, 13:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
А что если использовать схему родителей-детей?
То есть рассмотрим три двери, каждая из которых может быть открыта с вероятностью $2/3$ и за каждой может быть проход с вероятностью $p$. Посчитаем вероятность прохода. И приравняем её к $p$. Одним из решений будет, конечно, ноль. А вдруг будет ненулевое решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятности
Сообщение08.10.2013, 14:32 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Эта идея мне тоже приходила, но получил
$p =  \frac 6{27}p + \frac {12}{27}p^2+\frac 8{27}p^3$
без корней внутри $(0, 1)$
Скорее я безбожно туплю в вычислениях и лучше отложить когда можно взяться за задачу не урывками, а основательно.

-- Вт окт 08, 2013 15:42:46 --

Ага, написал и сразу понял, где ошибка.
$p =  \frac 6{27}p + \frac {12}{27}(1-(1-p)^2)+\frac 8{27}(1-(1-p)^3)$
С корнем $\frac {3}{4}(3-\sqrt3)=0.95...$

-- Вт окт 08, 2013 15:50:35 --

О чем gris, наверное знал с самого начала и только посмеивался над моими неуклюжими попытками :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория Вероятности
Сообщение08.10.2013, 15:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Нет, не знал :-)
И уж точно не подсмеивался.
Всех методов и способов не упомнишь, а мне всегда приятно догадаться о чём-то, пусть даже известном и совершенно очевидным другим.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group