2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Мизерный определитель
Сообщение29.09.2013, 06:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
Пусть $a_1,a_2,\dots,a_n$ - попарно взаимно простые целые числа. Докажите, что существуют такие целые числа $x_{11},x_{12},\dots,x_{1n},\dots,x_{n-1 \, 1},x_{n-1 \, 2},\dots,x_{n-1 \, n}$, что $$\begin{vmatrix}
\frac 1 {a_1} & \frac 1 {a_2} & \cdots & \frac 1 {a_n} \\
x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
x_{n-1 \, 1} & x_{n-1 \, 2} & \cdots & x_{n-1 \, n}
 \end{vmatrix} = \frac 1 {a_1 a_2 \dots a_n} \, .$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Мизерный определитель
Сообщение29.09.2013, 07:02 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Это же известный факт (наверняка есть у Касселса во "Введении в геометрию чисел"), но зачем Вы накидали сюда дробей?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мизерный определитель
Сообщение29.09.2013, 07:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
Не все же читают одинаковые книги! Причём здесь геометрия и что значит "накидал"? Как хочу, так и ставлю задачу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мизерный определитель
Сообщение29.09.2013, 07:43 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Dave в сообщении #768912 писал(а):
Причём здесь геометрия и что значит "накидал"? Как хочу, так и ставлю задачу.
Не обижайтесь, я же не в упрёк. Дело в том, что в геометрии чисел (такой раздел теории чисел, выросший из работ Минковского) это расхожее место: любой вектор со взаимно простыми координатами можно дополнить до базиса всей целочисленной решётки $\mathbb{Z}^n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мизерный определитель
Сообщение29.09.2013, 19:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
А верно ли, что любую линейную форму от $n \geqslant 2$ переменных с целыми коэффициентами можно представить в виде определителя матрицы $n \times n$, первой строкой которой являются переменные, а в остальных стоят целые числа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мизерный определитель
Сообщение29.09.2013, 19:29 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Похоже на правду. Пусть $f=a_1x_1+\ldots+a_nx_n$ --- наша форма. Рассмотрим в $\mathbb{Z}^n$ подрешётку решений уравнения $f=0$. Её базис и даст нам искомые строчки в определителе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мизерный определитель
Сообщение29.09.2013, 20:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
Что-то это не так очевидно. Полученная форма наверняка будет пропорциональна требуемой. А коэффициент пропорциональности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Мизерный определитель
Сообщение29.09.2013, 20:18 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Dave в сообщении #769143 писал(а):
А коэффициент пропорциональности?
Этот момент я ещё не додумал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мизерный определитель
Сообщение29.09.2013, 22:45 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Лучше так. Пусть $f_1=a_{11}x_1+\ldots+a_{1n}x_n$ --- наша форма, причём её коэффициенты взаимно просты (это не ограничивает общности рассуждений). Тогда найдутся такие формы $f_i=a_{i1}x_1+\ldots+a_{in}x_n$, $i=2,\dots,n$, что матрица $A=(a_{ij})$ унимодулярна. Имеем $[f]=A[x]$, откуда $[x]=A^{-1}[f]$. Последнее равенство будем рассматривать как систему линейных уравнений с неизвестными $f_i$, $i=1,\dots,n$. Теперь напишем формулу Крамера для $f_1$ --- это и будет то, что нам надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Мизерный определитель
Сообщение30.09.2013, 04:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
Лемма. Если целые числа $a_1,a_2,\dots,a_n$ ($n \geqslant 2$) взаимно просты в совокупности, то существует целочисленная матрица $A$ размера $n \times n$ с первой строкой, совпадающей с вышеприведённым набором чисел, и определителем, равным $1$.

Доказательство. Пусть $a=(a_1,a_2,\dots,a_n)$ - матрица размера $1 \times n$ (вектор-строка). Рассмотрим элементарное преобразование вектора $a$, состоящее в прибавлении к одному из его элементов, $a_t$, другого, $a_u$, умноженного на некоторое целое число $\lambda$. До тех пор, пока у вектора $a$ есть минимум две ненулевые координаты, выбираем наименьшую по модулю координату $a_u \ne 0$ и любую другую, $a_t \ne 0$, и, подбирая соответствующим образом $\lambda$, производим указанное преобразование, уменьшая по модулю $a_t$, а значит и общую сумму $S(a)=|a_1|+|a_2|+\dots+|a_n|$. Бесконечно долго сумма $S(a)$, являющаяся целым числом, уменьшаться не может, поэтому после конечного числа таких преобразований мы придём к ситуации, когда у полученного вектора $a$ останется ровно одна ненулевая координата. Так как наибольший общий делитель координат $a$ при преобразовании не изменяется, то эта координата может быть равна только $\pm 1$.
Посмотрим на произведенные операции по-другому. Вначале мы имеем тривиальное соотношение $a=aE$. Каждая операция заключается в умножении обеих частей этого равенства справа на целочисленную матрицу $B_{tu}^{(\lambda)}=(b_{ij})=E+\lambda \delta_{iu} \delta_{jt}$, имеющую $\det (B_{tu}^{(\lambda)})=1$. Слева всегда будет полученный вектор $a'$, а справа произведение исходного $a$ на некоторую матрицу $B$, которая, как произведение указанных выше элементарных матриц, всегда будет целочисленной с определителем, равным $1$ : $$a'=aB. \eqno(1)$$При этом, не ограничивая общности, можно считать, что в конце концов получится вектор $$a'=(1,0,\dots,0), \eqno(2)$$ иначе произведём перестановку двух координат $a'$ и/или замену знака первой координаты, а возможную при этом смену знака $\det(B)$ подправим ничего не значащим для левой части $(1)$ умножением на единичную матрицу, у которой вторая единица по диагонали заменена на $-1$.
Теперь ясно, что можно взять $A=B^{-1}$. Действительно, из целочисленности $B$ и $\det(B)=1$ следует, что $A$ также целочисленна, а из $(1)$ - что $a'A=a'B^{-1}=a$. $(2)$ говорит нам, что слева в последнем равенстве стоит первая строка матрицы $A$. Лемма доказана.

Теперь мы можем применить эту лемму к решению обеих задач.
Первая решается, если заметить, что, в случае попарно взаимно простых чисел $a_1,a_2,\dots,a_n$, числа $a_2 a_3 \dots a_n$, $a_1 a_3 \dots a_n$, $\dots$ $a_1 a_2 \dots a_{n-1}$ взаимно просты в совокупности.
При решении второй вынесем вначале наибольший общий делитель $d$ заданных коэффициентов за скобку (случай, когда все $a_i=0$, тривиален), потом применим лемму и возьмём в качестве требуемой матрицы $B^T$, где $B$ - матрица, фигурирующая в доказательстве леммы, а потом "внесём" $d$ в какую-либо из строк $B^T$, кроме первой. Заменим первую строку полученной матрицы на строку переменных $x_i$ и получим то, что нужно. Действительно, т.к. $A=B^{-1}$, то, по правилу алгебраических дополнений вычисления обратной матрицы, первая строка $A$, совпадающая с числами $\frac {a_i} d$, составляется из алгебраических дополнений первой строки матрицы $B^T$, которые есть не что иное, как коэффициенты получаемой из этой матрицы линейной формы.

Таким образом, уже в утвердительной форме, получена следующая

Теорема. Любую линейную форму от $n \geqslant 2$ переменных с целыми коэффициентами можно представить в виде определителя матрицы $n \times n$, первой строкой которой являются переменные, а в остальных стоят целые числа.

В качестве несложного упражнения предлагаю доказать, что слова "целыми(е)" в этой теореме можно заменить на любое из слов: "рациональными(е)", "действительными(е)", "комплексными(е)".

(Оффтоп)

Алгебраисты наверняка углядят там какое-нибудь поле.
:roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Мизерный определитель
Сообщение30.09.2013, 09:16 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
nnosipov в сообщении #769147 писал(а):
Этот момент я ещё не додумал.
Теперь додумал и предлагаю доказать:
nnosipov в сообщении #769125 писал(а):
Пусть $f=a_1x_1+\ldots+a_nx_n$ --- наша форма. Рассмотрим в $\mathbb{Z}^n$ подрешётку решений уравнения $f=0$. Её базис и даст нам искомые строчки в определителе.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group