2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Обобщения уравнения Пифагора
Сообщение16.12.2012, 19:43 


03/10/06
826
post391645.html#p391645
Как приведённые формулы решения для уравнения $nx^2+y^2=z^2$ из сообщения согласуются с формулами для уравнения $x^2+y^2=z^2$? Вроде бы при $n = 1$ получается другое. Или я не увидел чего? Где можно посмотреть, как решают обобщённое уравнение.
И были ли попытки обощить уравнение и далее - поставить коэффициенты при $y^2, z^2$, с двумя или тремя коэффициентами решать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщения уравнения Пифагора
Сообщение22.12.2012, 22:52 


21/11/10
546
К сведению.
yk2ru в сообщении #659385 писал(а):
Как приведённые формулы решения для уравнения $nx^2+y^2=z^2$ из сообщения согласуются с формулами для уравнения $x^2+y^2=z^2$?

Если считать исходным уравнение: $3x^2+y^2=z^2$
То благодаря геометрическим соображениям понятным из рисунка:

Изображение

можно записать эквивалентное утверждение:
$(2x+y-z)^2-x^2=2(z-y)(z-2x)$
$(x+y-z)(3x+y-z)=2(z-y)(z-2x)$

Не проверял, но возможно этого достаточно, что бы записать решения.
Для пифагоровых такой геометрический подход работает отлично.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщения уравнения Пифагора
Сообщение23.12.2012, 00:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6574
yk2ru в сообщении #659385 писал(а):
Где можно посмотреть, как решают обобщённое уравнение.

Посмотрите книгу Острика и Цфасмана по алгебраической геометрии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщения уравнения Пифагора
Сообщение06.08.2013, 10:56 


05/02/07
271
мат-ламер в сообщении #662206 писал(а):
yk2ru в сообщении #659385 писал(а):
Где можно посмотреть, как решают обобщённое уравнение.

Посмотрите книгу Острика и Цфасмана по алгебраической геометрии.


Советую посмотреть Andreescu T. Andrica D. An introduction to Diophantine equations (GIL Publishing House) 2010
http://f3.tiera.ru/2/M_Mathematics/MT_Number%20theory/Andreescu%20T.,%20Andrica%20D.,%20Cucurezeanu%20I.%20An%20introduction%20to%20Diophantine%20equations..%20A%20problem-based%20approach%20(Birkhauser,%202010)(ISBN%200817645489)(O)(358s)_MT_.pdf
стр. 78-79
В этой книге решается более общее уравнение
$x^2+axy+bY^2=z^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщения уравнения Пифагора
Сообщение06.08.2013, 11:31 
Заблокирован


16/06/09

1547
yk2ru
Берёте нечётные члены бинома Ньютона с разными (чередующимися) знаками в левой части. Берёте чётные члены бинома Ньютона с разными знаками в правой части.
Считаете сумму их квадратов. Получится $(a^2+b^2)^n$. Например, $n=4$:
Бином Ньютона будет $(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$.
Берём $a^4-6a^2b^2+b^4$ в левой части - нечётные члены с разными (чередующимися) знаками. Ну и соответственно $4a^3b-4ab^3$ в правой части - чётные с разными знаками.
Тогда $(a^4-6a^2b^2+b^4)^2+(4a^3b-4ab^3)^2=(a^2+b^2)^4$
Точно так же и $(a^2+kb^2)^n$, только там будут вырожденные случаи.
___________________

Другими словами $a^2+kb^2=p^n$ прекрасно решается для любых $k,n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщения уравнения Пифагора
Сообщение28.09.2013, 12:04 


03/10/06
826
Другое обобщение уравнения Пифагора:
$x^2+y^2 + n =z^2$, где $n$ некая константа.
Не знаю, приводятся ли где решение для такого уравнения.
Пусть константа равна $1$, чтобы совсем упростить
$x^2+y^2 + 1 =z^2$.
Данное же уравнение можно рассматривать как частный случай уравнения
$x^2+y^2+r^2=z^2$.
В сообщении post271768.html#p271768 для него даётся такая формула:
$(a^2+b^2-c^2-d^2)^2+4(ac+bd)^2+4(ad-bc)^2=(a^2+b^2+c^2+d^2)^2$
Получается, что $a^2+b^2-c^2-d^2 = 1$ , то есть это уравнение следует решить для решения уравнения
$x^2+y^2 - z^2 = -1$.
И какое же из них проще решать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщения уравнения Пифагора
Сообщение28.09.2013, 12:48 


16/08/09
304
yk2ru в сообщении #768591 писал(а):
Данное же уравнение можно рассматривать как частный случай уравнения
$x^2+y^2+r^2=z^2$.


Уважаемый yk2ru! Решение этого уравнения рассмотрено В. Серпинским в "Пифагоровых треугольниках"!

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщения уравнения Пифагора
Сообщение28.09.2013, 14:24 


03/10/06
826
Серпинский "О решении уравнений в целых числах":
Легко доказать, что ... уравнение
$x^2 + y^2 - z^2 = k$
имеет бесконечно много решений ...
это вытекает непосредственно из тождества
$2t - 1 = (2u)^2 + (2u^2 - t)^2 - (2u^2 - t + 1)^2$
$2t = (2u + 1)^2 + (2u^2 + 2u - t)^2 - (2u^2 + 2u - t - 1)^2$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group