2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Выразить sin4φ, используя формулу Муавра
Сообщение26.09.2013, 18:46 


10/03/13
74
Здравствуйте, задание:
Используя формулу Муавра, выразить через $\cos \varphi $ и $\sin \varphi $ функцию $\sin 4 \varphi$.
Пришел к уравнению $(\cos \varphi + i\sin \varphi)^4=\cos 4 \varphi + i\sin 4 \varphi$. Далее раскрыл $\cos 4 \varphi $ и левую скобку по биному Ньютона, получилось уравнение:

$\sin4\varphi=\cos \varphi \sin \varphi (4\cos^2\varphi-24\sin^2\varphi + i(4\cos\varphi\sin\varphi - 2))$. Правильно ли это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Выразить sin4φ, используя формулу Муавра
Сообщение26.09.2013, 19:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Dellghin в сообщении #768049 писал(а):
раскрыл $\cos 4 \varphi $
А зачем?

Dellghin в сообщении #768049 писал(а):
Пришел к уравнению $(\cos \varphi + i\sin \varphi)^4=\cos 4 \varphi + i\sin 4 \varphi$.
Это правильно.

Dellghin в сообщении #768049 писал(а):
$\sin4\varphi=\cos \varphi \sin \varphi (4\cos^2\varphi-24\sin^2\varphi + i(4\cos\varphi\sin\varphi - 2))$. Правильно ли это?
А это ерунда.

Вы можете сформулировать условие равенства двух комплексных чисел? Когда $a+bi=c+di$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Выразить sin4φ, используя формулу Муавра
Сообщение26.09.2013, 19:13 


03/06/12
2742
После раскрытия левой скобки по биному, нужно отдельно группировать действительные и мнимые члены, а потом приравнять мнимые части, так что в ответе $i$ хоть как не остается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выразить sin4φ, используя формулу Муавра
Сообщение26.09.2013, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва

(Sinoid)

Извините, но нельзя уж так сразу решение излагать. Помочь додуматься надо, но не сводить задачу к тупому переписыванию.

 Профиль  
                  
 
 Re: Выразить sin4φ, используя формулу Муавра
Сообщение26.09.2013, 21:11 


03/06/12
2742

(Оффтоп)

Дело в том, что у меня пока узкий математический кругозор (я занимаюсь самообразованием), а развиваться и поболтать ну очень хочется

 Профиль  
                  
 
 Re: Выразить sin4φ, используя формулу Муавра
Сообщение27.09.2013, 03:22 


10/03/13
74
Получается так:
$\sin4\varphi=4\cos \varphi \sin \varphi (\cos^2\varphi-6\sin^2\varphi)$.
Но если подставить число, то правая часть не равна левой...

 Профиль  
                  
 
 Re: Выразить sin4φ, используя формулу Муавра
Сообщение27.09.2013, 03:30 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Как вы их так раскрываете? По обычному биному Ньютона имеем

$\[{(cos\varphi  + i\sin \varphi )^4} = {\cos ^4}\varphi  + 4i{\cos ^3}\varphi \sin \varphi  - 6{\cos ^2}\varphi {\sin ^2}\varphi  - 4i\cos \varphi {\sin ^3}\varphi  + {\sin ^4}\varphi \]$

Нам нужна мнимая часть. Имеем

$\[\sin 4\varphi  = 4\cos \varphi \sin \varphi ({\cos ^2}\varphi  - {\sin ^2}\varphi )\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Выразить sin4φ, используя формулу Муавра
Сообщение27.09.2013, 04:03 


10/03/13
74
Извините, ошибся...
Всем спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group