2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Операция "Ы"
Сообщение18.09.2013, 02:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
Решите систему уравнений $$\begin{cases} x^2-yz=a
\\ y^2-zx=b
\\ z^2-xy=c
\end{cases}$$ в действительных числах $x,y,z$. Рассмотреть все возможные значения параметров $a,b,c$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Операция "Ы"
Сообщение18.09.2013, 06:59 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
$ay+bz+cx=0$ и $az+bx+cy=0$ получаются сразу. Ну а дальше - всё прозрачно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Операция "Ы"
Сообщение18.09.2013, 07:08 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Надеюсь, $a$, $b$, $c$ считаются вещественными :-) Если система разрешима, то $a+b+c \geqslant 0$. Если $a+b+c=0$, то $x=y=z$ и $a=b=c=0$. Пусть $a+b+c>0$. Здесь можно рассмотреть два случая: 1) $a=b=c$ и 2) среди $a$, $b$, $c$ есть различные. В случае 2) будет два решения (Maple говорит), а в случае 1) --- бесконечно много (выписывать лень).

 Профиль  
                  
 
 Re: Операция "Ы"
Сообщение23.09.2013, 05:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
Функция $\operatorname{\text{Ы}}(x,y,z)=\frac 1 {\sqrt[3] {(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)/2}} \Big(x^2-yz,y^2-zx,z^2-xy\Big)$ - инволюция в области определения, т.е. $\operatorname{\text{Ы}}(\operatorname{\text{Ы}}(x,y,z))=(x,y,z)$.

nnosipov в сообщении #764947 писал(а):
Надеюсь, $a$, $b$, $c$ считаются вещественными :-) Если система разрешима, то $a+b+c \geqslant 0$. Если $a+b+c=0$, то $x=y=z$ и $a=b=c=0$. Пусть $a+b+c>0$. Здесь можно рассмотреть два случая: 1) $a=b=c$ и 2) среди $a$, $b$, $c$ есть различные. В случае 2) будет два решения (Maple говорит), а в случае 1) --- бесконечно много (выписывать лень).
Странный какой-то Ваш Maple. Более сложный случай решил (если верить Вам на слово), а более простой - нет.
Для случая $a=b=c=t$, $t>0$ общее решение задаётся формулой $$(x,y,z)=\pm 2 \sqrt{\frac t 3}\left(\cos \varphi, \cos \left(\varphi+\frac {2\pi} 3 \right), \cos \left(\varphi+\frac {4\pi} 3 \right)\right) .$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Операция "Ы"
Сообщение23.09.2013, 06:43 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Dave в сообщении #766817 писал(а):
Странный какой-то Ваш Maple.
Вот что я набрал
Код:
solve({x^2-y*z=t,y^2-z*x=t,z^2-x*y=t},{z,y,z});
и получил
Код:
{y = RootOf(_Z^2+x*_Z+x^2-t), z = -RootOf(_Z^2+x*_Z+x^2-t)-x}
Это надо было бы причесать (и вообще понять, что здесь Maple сделал), но я не смог себя заставить.

Вообще задача для школьников хорошая. Мне показалось, что здесь будут корни каких-нибудь узнаваемых кубических уравнений, например как в системе
$$
\left\{
 \begin{array}{l}
 y=x(4-x),\\
 z=y(4-y),\\
 x=z(4-z).
 \end{array}
 \right.
$$
Но оказалось иначе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Операция "Ы"
Сообщение23.09.2013, 15:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Dave в сообщении #764925 писал(а):
Рассмотреть все возможные значения параметров $a,b,c$.


Задача есть в Кречмар В.А. Задачник по алгебре (Параграф 5, задача 26.)

(Оффтоп)

Я по этому задачнику готовился для поступления в ВУЗ, и надо же, одна из задач по математике письменно попалась из него, что существенно повлияло на итоговую оценку. :oops:
А эта задача зрительно показалась мне очень знакомой. Порылся и нашёл :wink:

Там из решения следует, что для вещественности $x,y,z$ необходимо и достаточно
$$\lambda ^{ - 2} =a^3+b^ 3+c^3-3abc при вещественных $\lambda,a,b,c$
А из него следует необходимое и достаточное условие:
$a+b+c>0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Операция "Ы"
Сообщение23.09.2013, 17:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
Коровьев в сообщении #766956 писал(а):
Задача есть в Кречмар В.А. Задачник по алгебре (Параграф 5, задача 26.)
...
А из него следует необходимое и достаточное условие:
$a+b+c>0$
Ошибается этот Ваш Кречмар. Один случай таки упустил. Как заметил выше nnosipov, случай $a=b=c=0$ также даёт группу решений $x=y=z$. Так что хорошо, что на экзамене попалась не эта задача :lol: .

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group