2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Три задачи о тетраэдре
Сообщение17.09.2013, 09:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
1. Докажите, что величина $$\frac a {\sin \alpha} \cdot \frac b {\sin \beta} \, ,$$ где $a$ и $b$ - противоположные рёбра тетраэдра, $\alpha$ и $\beta$ - двугранные углы при них, не зависит от выбора пары этих рёбер.

2. Докажите, что величина $$\frac a {\sin \alpha} \left(\frac {\frac {S_1} {S_2}+\frac {S_2} {S_1}} 2 - \cos \alpha \right),$$ где $a$ - ребро тетраэдра, $\alpha$ - двугранный угол при нём, $S_1$ и $S_2$ - площади прилегающих к нему граней, одинакова для противоположных рёбер тетраэдра.

3. Докажите, что для двугранных углов тетраэдра справедливо соотношение: $$\begin{vmatrix} -1 & \cos \alpha_{12} & \cos \alpha_{13} & \cos \alpha_{14} \\ \cos \alpha_{12} & -1 & \cos \alpha_{23} & \cos \alpha_{24} \\ \cos \alpha_{13} & \cos \alpha_{23} & -1 & \cos \alpha_{34} \\ \cos \alpha_{14} & \cos \alpha_{24} & \cos \alpha_{34} & -1 \end{vmatrix} =0 \, ,$$ где $\alpha_{ij}$ - угол между $i$-й и $j$-й гранями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три задачи о тетраэдре
Сообщение18.09.2013, 09:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5419
Нов-ск
Dave в сообщении #764602 писал(а):
3. Докажите, что для двугранных углов тетраэдра справедливо соотношение:

$$S_1=S_2\cos\omega_2+S_3\cos\omega_3+S_4\cos\omega_4$$
Площадь одной грани нашли через площади остальных граней и двугранные углы.
Однородная система из четырех таких уравнений относительно площадей граней имеет нулевой определитель.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три задачи о тетраэдре
Сообщение19.09.2013, 05:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
TOTAL в сообщении #764976 писал(а):
$$S_1=S_2\cos\omega_2+S_3\cos\omega_3+S_4\cos\omega_4$$
Площадь одной грани нашли через площади остальных граней и двугранные углы.
Однородная система из четырех таких уравнений относительно площадей граней имеет нулевой определитель.
Совершенно верно.

Аналогичное равенство имеет место и в пространстве любой размерности. К примеру, для углов произвольного треугольника $\alpha, \beta, \gamma$ верно: $$\begin{vmatrix} -1 & \cos \alpha & \cos \beta \\ \cos \alpha & -1 & \cos \gamma \\ \cos \beta & \cos \gamma & -1 \end{vmatrix} =0 \, .$$ Тождество такого вида - это единственное, что связывает углы между $\frac {n(n+1)} 2$ гранями произвольного $n$-мерного симплекса. За исключением этого ограничения (ну и, возможно, некоторых неравенств), углы можно выбирать произвольно. Это говорит нам о том, что существует $\frac {n(n+1)} 2$ степеней свободы в построении такого симплекса с точностью до конгруэнтности.
Можете ли Вы доказать тождество такого вида в общем случае без привлечения понятия площадей?

 Профиль  
                  
 
 Re: Три задачи о тетраэдре
Сообщение19.09.2013, 06:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Dave в сообщении #765235 писал(а):
Можете ли Вы доказать тождество такого вида в общем случае без привлечения понятия площадей?

Это просто минус матрица Грама для нормалей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три задачи о тетраэдре
Сообщение20.09.2013, 00:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
ewert в сообщении #765240 писал(а):
Это просто минус матрица Грама для нормалей.
$\text{минус}^{\, n}$ :D

Интересно, что если рассматривать $n$-мерный симплекс "полностью привязанным" к соответствующему пространству, то для его выбора существует $n(n+1)$ степеней свободы. Таким образом, на всякие повороты/движения уходит ровно половина степеней свободы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три задачи о тетраэдре
Сообщение20.09.2013, 10:33 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Dave в сообщении #765581 писал(а):
$\text{минус}^{\, n}$

Нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три задачи о тетраэдре
Сообщение20.09.2013, 17:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
Я имел ввиду определитель :P

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group