2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Максимальное расстояние на стандартном симплексе
Сообщение06.09.2013, 16:28 


16/11/10
51
Пусть некоторая точка $x^*$ принадлежит стандартному симплексу ${\{\sum_{i=1}^{n}x_i=1, x_i \ge 0 \}}$. Как доказать, что максимально удаленная (в евклидовой метрике) от $x^*$ принадлежащая симплексу точка, - это один из его углов?

Пробовал фигачить через оптимизационную задачу: получил довольно громоздкую систему уравнений, описывающих необходимое условие экстремума. Теперь необходимо както доказать, что решением этой системы являются только углы, да сама точка $x^*$ (она, очевидно, будет давать минимум расстояния). Но сделать это, видимо, непросто. Можно ли както еще подступиться к этой задаче?

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальное расстояние на стандартном симплексе
Сообщение06.09.2013, 17:18 


23/12/07
1757
Может, попробовать через представление точек в виде выпуклой комбинации крайних ("угловых").

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальное расстояние на стандартном симплексе
Сообщение06.09.2013, 18:02 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Просто по неравенству треугольника (любую иную точку можно шевелением заведомо не приблизить). Правда, только ли в вершине -- это другой вопрос; это верно лишь, если норма -- строгая. Ну евклидова -- она да, она заведомо строгая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальное расстояние на стандартном симплексе
Сообщение06.09.2013, 19:34 


16/11/10
51
Сорри, но я не совсем понимаю, что вы имеете ввиду. Не могли бы вы поподробнее написать, как использовать неравенство треугольника в доказательстве. Буду очень благодарен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальное расстояние на стандартном симплексе
Сообщение07.09.2013, 15:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6591
Строго выпуклая функция (квадрат расстояния) не может принимать минимум во внутренней точке выпуклого подмножества аффинного многообразия (это симплекс или любая его грань меньшей размерности).

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальное расстояние на стандартном симплексе
Сообщение07.09.2013, 16:21 


16/11/10
51
Большое спасибо! Нашел это свойство в одной методичке и просто могу сослаться на него!
Вопрос закрыт.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group