2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Показать, что данный четырехугольник трапеция
Сообщение25.08.2013, 11:05 


29/06/11
125
Украина
Дан четырехугольник $ABCD$. Показать, что, если выполняется равенство $\sin(B)/\sin(A)=\sin(C)/\sin(D)$, то данный четырехугольник - трапеция.
апецией ?

Используя сумму углов четырехугольника, $A+B+C+D=4\cdot\pi$, можно упростить равенство к $\sin(B)/\sin(A)=\sin(C)/\sin(-A-B-C)$.

Если данный четырехугольник действительно трапеция, то, или $A = 180-B, D = 180-C$, или $A = 180-D, B = 180-C$, и, при подстановке полученного, равенство выполняется. Но как показать, что четырехугольник всегда будет трапецией?

Задача не из сборников, а придумана самостоятельно, так что, вероятнее всего, четырехугольник не будет трапецией. Может ли кто-то показать, что это так, или опровергнуть ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать, что данный четырехугольник трапеция
Сообщение25.08.2013, 11:34 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Предположите, что это не трапеция, и докажите, что равенство не выполняется. Для этого достройте четырёхугольник до треугольника $AOD$, где $O$ -- точка пересечения "боковых" сторон $AB$ и $DC$. Перепишите равенство $\frac{\sin B}{\sin A}=\frac{\sin C}{\sin D}$ как $\frac{\sin B}{\sin C}=\frac{\sin A}{\sin D}$. По теореме синусов каждое из двух последних отношений равно отношению противолежащих сторон в треугольниках $BOC$ и $AOD$ соответственно. При $BC\|AD$ эти отношения сторон и впрямь одинаковы; но тогда, очевидно, при отсутствии параллельности и равенства не будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Показать, что данный четырехугольник трапеция
Сообщение25.08.2013, 11:59 


29/06/11
125
Украина
ewert

Огромное спасибо за помощь :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group