2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 опять о линейных и аффинных пространствах
Сообщение20.08.2013, 14:42 


10/02/11
6786
цитата из Колмогорова Фомина(2004):
Изображение

Теперь возьмем функционал Эйлера
$$F(x(\cdot))=\int_{t'}^{t''}L(x(t),\dot x(t),t)dt$$
который принято определять на множестве $$X=\{x(t)\in C^2([t',t''],\mathbb{R}^m)\mid x(t')=x',\quad x(t'')=x''\}$$
Мы этот функционал очень любим дифференцировать, а некоторые любят его дифференцировать даже дважды. Проблема только в том, что в соответствие с цитированным определением делать это невозможно, поскольку множество $X$ не может быть нормированным пространством, просто потому, что оно не является линейным пространством. (Хотя, конечно, в тексте фигурирует слово "точка" понятно о чем пишут авторы, только понятно ли это бывает студентам? Путаница зафиксирована даже в заголовке)

На самом деле дифференцируют отображения определенные не на линейных, а на аффинных пространствах (и значения принимающие в аффинных пространствах). Тогда должно быть
$$F(x+h)-F(x)=L_xh+o(h),$$
где $x$ -- это элемент аффинного пространства $X$, а $h$ это элемент ассоциированного линейного пространства $\overline X$.

Это можно было бы считать пустой придиркой и буквоедством, но на примере функционала Эйлера очень хорошо видно, что аффинное пространство $X$ и соответствующее ему линейное пространство $\overline X$ совершенно различны и смешивать их нельзя: $$\overline X=\{h(t)\in C^2([t',t''],\mathbb{R}^m)\mid h(t')= h(t'')=0\}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: опять о линейных и аффинных пространствах
Сообщение21.08.2013, 01:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Я думал, у вас к нормированности серьёзные придирки, а смещение на вектор - это как-то ерунда...

 Профиль  
                  
 
 Re: опять о линейных и аффинных пространствах
Сообщение21.08.2013, 07:40 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Oleg Zubelevich в сообщении #756158 писал(а):
На самом деле дифференцируют отображения определенные не на линейных, а на аффинных пространствах (и значения принимающие в аффинных пространствах). Тогда должно быть

На самом деле да, если точнее, на аффинных нормированных. И даже в Зориче (том 2, с.70) мимоходом по этому случаю было небольшое замечание.

 Профиль  
                  
 
 Re: опять о линейных и аффинных пространствах
Сообщение21.08.2013, 11:56 


10/02/11
6786
Otta в сообщении #756322 писал(а):
На самом деле да, если точнее, на аффинных нормированных

разумеется, просто мне важно было подчеркнуть разницу между аффинным пространством и линейным пространством. Вот в приведенном примере эта разница весьма ощутима. Когда говорят "нормированное пространство" то по умолчанию подразумевается "линейное"
Otta в сообщении #756322 писал(а):
И даже в Зориче (том 2, с.70) мимоходом по этому случаю было небольшое замечание.

мне нравится читать Лорана Шварца "Анализ", там изложение доведено до полной ясности:
Изображение

Вот в $\mathbb{R}^m$ там точка это набор чисел и вектор это набор чисел , и все и так понятно геометрически. Поэтому может показаться, что понятия "аффинное пространство" это просто какое-то наукообразие лишнее. Ан нет, есть примеры , когда это очень важно. Вот к этому пафос моего выступления и сводился :D А еще аффинное нормированное пространство является метрическим пространством. И это тоже надо проговаривать студентам явно, как бы тривально это не звучало.

 Профиль  
                  
 
 Re: опять о линейных и аффинных пространствах
Сообщение21.08.2013, 13:04 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Oleg Zubelevich в сообщении #756353 писал(а):
Вот к этому пафос моего выступления и сводился

Ага. Я этот пример хотела Вы-помните-когда привести, потому что здесь действительно разница наиболее наглядна, на мой взгляд. Но там это было уж больно некстати.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group