2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Комбинаторная задачка по теорверу
Сообщение17.08.2013, 12:12 
Аватара пользователя


26/02/11
332
Помогите разобраться с решением задачи по теории вероятностей с элементами комбинаторики.
Задача.
Пять друзей живут вместе. Они решили, что утром они будут тянуть жребий — кому из них пойти в магазин, чтобы купить к завтраку свежего хлеба. На одной из пяти бумажек будет стоять буква «x» и тот, кто вытянет талон с этой буквой, должен идти за покупкой.
Для кого из друзей вероятность вытянуть талон «х» будет наименьшей:
для того, кто тянет жребий первым, вторым, третьим, четвертым или пятым?
Решение.
Исходом здесь следует назвать любую из $5!$ перестановок 5 (талонов). Найдем вероятность того, что билет "x" достанется $k$-му по счету другу. Этому событию благоприятствуют все случаи, в которых талон "x" вытаскивается $k$-м по счету, а остальные четыре талона могут пояляться на любом по счету месте. Это может произойти $4!$ способами. Таким образом, вероятность вытянуть талон "x" $k$-му по счету другу равна
$P_k = \frac{4!}{5!} = \frac{1}{5}.$

Эта вероятность не зависит от $k$, т. е. от того, каким по порядку очередности вытягивать жребий, так что последний в очереди имеет такую же вероятность вытянуть жребий, как и первый.

У меня такой вопрос: почему здесь учитываются перестановки? Ведь тут всего лишь два типа талонов: один с "x", а остальные без. То есть не понятно, почему исход $5!$ перестановок и почему 4 других талона могут вытянуться $4!$ способами.
Задача взята из книжки Колмогорова, Журбенко, Прохорова "Введение в теорию вероятностей".

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задачка по теорверу
Сообщение17.08.2013, 12:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
Dosaev в сообщении #755450 писал(а):
У меня такой вопрос: почему здесь учитываются перестановки? Ведь тут всего лишь два типа талонов: один с "x", а остальные без. То есть не понятно, почему исход $5!$ перестановок и почему 4 других талона могут вытянуться $4!$ способами.
Задача взята из книжки Колмогорова, Журбенко, Прохорова "Введение в теорию вероятностей".

0) Если "остальные" талоны пометить (невидимыми чернилами) различными буквами, то вопрос исчезнет?
1) Если "остальные" талоны пометить различными буквами, то вопрос исчезнет?
2) С буквами на "остальных" талонах вероятность пойти за хлебом изменится?

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задачка по теорверу
Сообщение17.08.2013, 15:02 
Аватара пользователя


26/02/11
332
0) и 1) Да, вопрос исчезнет, но каков смысл в этом? "Остальные" талоны все равно достоверно говорят нам о том, что в магазин не идти, будь они с буквами или без.
2) Нет, не изменится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задачка по теорверу
Сообщение17.08.2013, 22:43 


03/06/12
2745
А можно и так: Нумеруем талоны и друзей: 1,2,3,4,5, запишем подстановку, в верхней строке которой идут друзья в порядке жеребьевки, а в нижней- доставшиеся им талоны и допустим, идет тот, кому достался талон 1. Вероятность быть случайно выбранной у всякой подстановки одинакова, а т.к. у всякой подстановки в нижней строке стоит 1, то всякая подстановка определяет некоторый исход жеребьевки. Замечу, что в этом случае подстановки, которые различаются порядком в верхней строке, но при этом определенные элементы верхней строки переходят в определенные элементы нижней строки, определяют разные исходы жеребьевки в смысле порядка следования друзей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задачка по теорверу
Сообщение17.08.2013, 23:52 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

Dosaev в сообщении #755450 писал(а):
Пять друзей живут вместе. Они решили, что утром они будут тянуть жребий — кому из них пойти в магазин, чтобы купить к завтраку свежего хлеба. На одной из пяти бумажек будет стоять буква «x» и тот, кто вытянет талон с этой буквой, должен идти за покупкой.
Для кого из друзей вероятность вытянуть талон «х» будет наименьшей:
для того, кто тянет жребий первым, вторым, третьим, четвертым или пятым?

Отвратительная формулировка. При чём тут живут, утро, свежий, магАзин, батон, в конце-то концов? -- уж ладно б за водкой, пусть и с утра. Подобные "Войны и миры" сочиняют специально для того, чтоб сбить подопытного с толку. Это неспортивно.

Dosaev в сообщении #755450 писал(а):
У меня такой вопрос: почему здесь учитываются перестановки?

По глупости учитываются, они тут совершенно не при чём.

На первый взгляд это в точности задачка на теорему умножения вероятностей. Тупо считаем: для первого вероятность "выиграть" (в смысле проиграть, конечно) есть $\frac15$, естественно. Для второго -- соответственно, $\frac45\cdot\frac14=\frac15$, чего тут думать-то. Для третьего -- $\frac45\cdot\frac34\cdot\frac13=\frac15$ и т.д. В общем, для всех получается ровно $\frac15$.

А вот после того, как очевидный результат получен, полезно призадуматься. С чего это они вдруг оказались одинаковыми-то?... Наверное, это жу-жу неспроста.

Тогда надо просто заменить постановку опыта на явно эквивалентную. Пусть они тянут фантики до посинения, т.е. до исчерпания фантиков, невзирая ни на что. Результатом же опыта считается номер шага, на котором выпал окрещённый фантик (кролики не знают, выпал или нет -- пусть себе тянут дальше, на процедуру это никак не повлияет). Вопрос при этом сводится к следующему: какова вероятность того, что заранее выбранный наугад номер фантика выпадет на тот или иной шаг? Ну тут всё ясно.

Т.е. эта задачка для темы "комбинаторная вероятность" откровенно преждевременна (ибо эта тема -- самая первая). Она крайне полезна, но уже гораздо позже -- в первую очередь для шевеления мозгов, ну и для напоминания о том, что комбинаторные вероятности тоже бывают кстати.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задачка по теорверу
Сообщение18.08.2013, 00:01 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Dosaev в сообщении #755499 писал(а):
0) и 1) Да, вопрос исчезнет, но каков смысл в этом? "Остальные" талоны все равно достоверно говорят нам о том, что в магазин не идти, будь они с буквами или без.

Смысл в том, что формула классической вероятности используется, когда элементарные исходы равновероятны. Если элементарные исходы { вытянуть первый талон,... пятый талон}, то они равновероятны. Если Вы назначите элементарными {c буквой х, без буквы x}, очевидно, равновероятными они не будут. И формула классической вероятности, так, как Вы себе это похоже мыслите, в этой ситуации неприменима.

-- 18.08.2013, 02:12 --

ewert
Можно еще так. Пусть наши друзья берут талончики по очереди, но не открывают их. Просто раздаем их, как карты. А теперь смотрим. Какова вероятность, что буква "х" оказалась у определенного товарисча? Конечно, $1/5$. Она с равной вероятностью может оказаться у кого угодно.

(Просто вопрос был не в том, как лучше решать эту задачу. А откуда взялось это решение, и почему не иначе.)

-- 18.08.2013, 02:17 --

(Оффтоп)

ewert в сообщении #755669 писал(а):
Это неспортивно.

:lol1:

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задачка по теорверу
Сообщение18.08.2013, 00:55 


03/06/12
2745
Я тут подумал и надумал вот что: выкладки-то будут еще зависеть от способа проведения жеребьевки. Если каждый вытянул и тут же показал результат, это одни дроби, а если все открываются после того, как все вытянули, это другие дроби, хотя итог один. А можно спросить: автор вопроса и вправду так юн?

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задачка по теорверу
Сообщение18.08.2013, 02:07 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Sinoid в сообщении #755685 писал(а):
выкладки-то будут еще зависеть от способа проведения жеребьевки.

Не будут. Способ проведения жеребьевки никак не влияет на поведение карточки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задачка по теорверу
Сообщение18.08.2013, 14:21 


03/06/12
2745
Я имел ввиду сами формулы. Найдем, например, вероятность того, что талон "x" вытянет третий участник при условии, что каждый участник показывает карточку сразу после того, как он ее вытянул. Она равна $P_3=\frac{(5\cdot4\cdot3)\cdot(4\cdot3)}{(5\cdot4\cdot3)^2}=\frac{1}{5}$. Результат тот же, а дробь для вычисления другая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Комбинаторная задачка по теорверу
Сообщение19.08.2013, 19:49 
Аватара пользователя


26/02/11
332
ewert в сообщении #755669 писал(а):
На первый взгляд это в точности задачка на теорему умножения вероятностей. Тупо считаем: для первого вероятность "выиграть" (в смысле проиграть, конечно) есть $\frac15$, естественно. Для второго -- соответственно, $\frac45\cdot\frac14=\frac15$, чего тут думать-то. Для третьего -- $\frac45\cdot\frac34\cdot\frac13=\frac15$ и т.д. В общем, для всех получается ровно $\frac15$.

ewert, спасибо, но эта задачка до этой теоремы, хотя все подходы хороши :-) .
Otta в сообщении #755673 писал(а):
ewert
Можно еще так. Пусть наши друзья берут талончики по очереди, но не открывают их. Просто раздаем их, как карты. А теперь смотрим. Какова вероятность, что буква "х" оказалась у определенного товарисча? Конечно, $1/5$. Она с равной вероятностью может оказаться у кого угодно.

(Просто вопрос был не в том, как лучше решать эту задачу. А откуда взялось это решение, и почему не иначе.)

Otta, была такая идейка, но хотелось разобраться в решении. Спасибо :-)

(Sinoid)

Sinoid в сообщении #755685 писал(а):
А можно спросить: автор вопроса и вправду так юн?

Ну не так уж юн, но вообще молод. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group