2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Генераторы взаимно простых
Сообщение17.08.2013, 00:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
Последовательность $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ начинается с $x_1=2$, а далее определяется по закону

  1. $x_{n+1}=x_n^2-x_n+1$ ;
  2. $x_{n+1}=x_n^2+x_n-1$ ;
  3. $x_{n+1}=2^{x_n}-1$ .

Докажите, что все члены последовательности попарно взаимно просты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Генераторы взаимно простых
Сообщение17.08.2013, 08:29 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
a, b) $x_{n+1}=f(x_n)$
$x_{n+k}=f^k(x_n)$
$f^1(t)\equiv 1\pmod t \wedge$
$(y_k=f^k(t)\equiv 1\pmod t \Rightarrow f^{k+1}(t)=f(y_k)\equiv 1\pmod t)$
$\Rightarrow (\forall k)f^k(t)\equiv 1\pmod t$
$\gcd(x_{n+k},x_n)=\gcd(f^k(x_n),x_n)=\gcd(1,x_n)=1$
$x_1$ тут даже любой.

(Оффтоп)

c) Error: cannot allocate memory
А здесь от $x_1$ ответ зависит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Генераторы взаимно простых
Сообщение17.08.2013, 10:03 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
c. Поскольку $x_1=2$, то $\gcd(x_k,x_1)=1$.
$f(x):=2^{x}-1$
$\gcd(x_{n+k},x_n)=\gcd(2^{x_{n+k-1}}-1,2^{x_{n-1}}-1)=2^{\gcd(x_{n+k-1},x_{n-1})}-1=f(\gcd(x_{n+k-1},x_{n-1}))=...=f^k(\gcd(x_k,x_1))=f^k(1)=1$.
Видимо, в качестве $x_1$ можно взять как минимум любую степень двойки или любой член получающейся последовательности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group