2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Аппрокимация функции бесконечным количеством пар
Сообщение31.10.2010, 00:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Привет всем.

Я тут наткнулся на математическую проблему:

имеется счетное количество пар $(x_n, t_n)$, $x\in [0,1],\quad n=0,1,...,\infty$.

Вопрос: можно ли нарисовать аналитическую функцию$x(t)$(формулу!!!), такую, чтобы

$x(t_n)=x_nб $ для любого $n$?

Единственная ли это функция?

Посоветуйте пожалуйста литературу.
Заранее спасибо за ответы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппрокимация функции бесконечным количеством пар
Сообщение31.10.2010, 00:25 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Bulinator в сообщении #368143 писал(а):
имеется счетное количество пар $(x_n, t_n)$, $x\in [0,1],\quad n=0,1,...,\infty$.

Как именно эти пары заданы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппрокимация функции бесконечным количеством пар
Сообщение31.10.2010, 03:19 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Bulinator в сообщении #368143 писал(а):
аналитическую функцию$x(t)$(формулу!!!)
Вот если бы не это "формулу!!!", то задача действительно бы имела не более чем единственное решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппрокимация функции бесконечным количеством пар
Сообщение31.10.2010, 08:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Bulinator в сообщении #368143 писал(а):
можно ли нарисовать аналитическую функцию$x(t)$(формулу!!!)

Аналитическую -- в смысле теории функций, или в том смысле, что она задается некоторой формулой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппрокимация функции бесконечным количеством пар
Сообщение31.10.2010, 11:10 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Bulinator в сообщении #368143 писал(а):
Вопрос: можно ли нарисовать аналитическую функцию

Что такое "формула" -- это загадка, аналитическую же функцию -- вообще говоря, нельзя, естественно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппрокимация функции бесконечным количеством пар
Сообщение31.10.2010, 16:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
maxal в сообщении #368146 писал(а):
Bulinator в сообщении #368143 писал(а):
имеется счетное количество пар $(x_n, t_n)$, $x\in [0,1],\quad n=0,1,...,\infty$.

Как именно эти пары заданы?

Если честно, то получается так что $t_n-t_{n-1}=|x_n-x_{n-1}|$ а $x_n$ всюду плотная последовательность на [0,1]. Только я думал, что это не имеет значение.

-- Вс окт 31, 2010 17:25:07 --

AD в сообщении #368167 писал(а):
Вот если бы не это "формулу!!!", то задача действительно бы имела не более чем единственное решение.

paha в сообщении #368183 писал(а):
Аналитическую -- в смысле теории функций, или в том смысле, что она задается некоторой формулой?

ewert в сообщении #368222 писал(а):
Что такое "формула" -- это загадка, аналитическую же функцию --


Если бы n принимало значаения от 0 до некторого конечного N то существует интерполяционная формула Лагранжа, которая x(t) аппроксимирует полиномом N+1-й степени. Но тут последовательность бесконечная. Переходить к пределу $N\mapsto\infty$ страшно и небезопасно, ведь он может вообще не существовать!
ewert в сообщении #368222 писал(а):
аналитическую же функцию -- вообще говоря, нельзя, естественно.

А почему нельзя??

Спасибо за ответы.

-- Вс окт 31, 2010 17:35:34 --

AD в сообщении #368167 писал(а):
Bulinator в сообщении #368143 писал(а):
аналитическую функцию$x(t)$(формулу!!!)
Вот если бы не это "формулу!!!", то задача действительно бы имела не более чем единственное решение.

Сорри, не заметил. Вы меня почти осчастливили!! :-) А почему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппрокимация функции бесконечным количеством пар
Сообщение31.10.2010, 18:34 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Bulinator в сообщении #368348 писал(а):
Если честно, то получается так что $t_n-t_{n-1}=|x_n-x_{n-1}|$ а $x_n$ всюду плотная последовательность на [0,1].

Все равно непонятно.
Если вам $t_n$ и $x_n$ даны как функции от $n$, то задача сводится к нахождению явного вида функции по ее неявному заданию. Влоб можно, например, попробовать обратить зависимость $t$ от $n$, и найти функцию $n(t)$ такую, что $t_{n(t)}=t$ и подставить ее в функцию для $x_n$, получая искомую зависимость от $t$: $x_n = x_{n(t)}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппрокимация функции бесконечным количеством пар
Сообщение31.10.2010, 18:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
maxal в сообщении #368406 писал(а):
Bulinator в сообщении #368348 писал(а):
Если честно, то получается так что $t_n-t_{n-1}=|x_n-x_{n-1}|$ а $x_n$ всюду плотная последовательность на [0,1].

Все равно непонятно.
Если вам $t_n$ и $x_n$ даны как функции от $n$, то задача сводится к нахождению явного вида функции по ее неявному заданию. Влоб можно, например, попробовать обратить зависимость $t$ от $n$, и найти функцию $n(t)$ такую, что $t_{n(t)}=t$ и подставить ее в функцию для $x_n$, получая искомую зависимость от $t$: $x_n = x_{n(t)}$.

Да не... Например, берем последовательность

$x_0=1,\quad x_1=\frac{1}{2}, \quad x_2=\frac{1}{3},\quad x_3=\frac{2}{3}...$ и.т.д. Т.е. $x_n$ - как-то пронумерованные рациональные числа, а $t_{n}-t_{n-1}=|x_{n}-x_{n-1}|$.

Мне нужна функция $x(t)$ с гладкой производной какой-нибудь степени(в идеале бесконечной), чтобы,в частности, исследовать производные $\dot{x}(t)$.

Меня терзают смутные сомнения, что до меня с такой задачей уже сталкивались и кто-то(очень умный) получил результаты. Вот только они по ходу где-то спрятаны, потому как гугление дает результаты только для конечного числа пар $(x_n, t_n)$. А еще сомнения говорят, что на форуме есть кто-то, кто знает в какую чторону мне копать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппрокимация функции бесконечным количеством пар
Сообщение31.10.2010, 19:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Это классическая интерполяционная задача Неванлины-Пика (Nevanlinna-Pick),
решенная около 100 лет назад. Необходимое и достаточное условие состоит в положительной определенности бесконечной системы матриц.
Погуглите, посмотрите в продвинутых книгах по ТФКП, или в книгах по проблеме моментов Ахиезера или Крейна-Нудельмана

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппрокимация функции бесконечным количеством пар
Сообщение31.10.2010, 19:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
shwedka в сообщении #368429 писал(а):
Это классическая интерполяционная задача Неванлины-Пика (Nevanlinna-Pick),
решенная около 100 лет назад. Необходимое и достаточное условие состоит в положительной определенности бесконечной системы матриц.
Погуглите, посмотрите в продвинутых книгах по ТФКП, или в книгах по проблеме моментов Ахиезера или Крейна-Нудельмана


Спасибо большое!!!

 Профиль  
                  
 
 Re: Аппрокимация функции бесконечным количеством пар
Сообщение18.07.2013, 12:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
shwedka в сообщении #368429 писал(а):
Это классическая интерполяционная задача Неванлины-Пика (Nevanlinna-Pick),


Прошло почти 3 года и снова всплыла эта задача. Правда уже в другом контексте. Вопрос в том, что в книгах обычно берется конечное число пар. Посоветуйте, пожалуйста, где искать случай с бесконечным кол-вом $(x_n,t_n)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group