2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предел последовательности
Сообщение28.06.2013, 19:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Вычислить $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{\sqrt{n}}$, где $a_{n+3}=a_{n+2}+\frac{a_n}{2n+6},a_0=a_1=a_2=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение30.06.2013, 11:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Интересно. Сходу не вышло.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение30.06.2013, 11:47 
Аватара пользователя


29/08/12
40
Вечно зеленый
Может на основе $a_{n+3}-a_{n+2}=\frac{a_n}{2n+6},a_0=a_1=a_2=1$ получить диффур $f'=\frac{f}{2x}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение30.06.2013, 14:14 
Аватара пользователя


21/02/13
125
Санкт-Петербург
Я смог найти производящую функцию для $a_n$, но что дальше делать - не знаю

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение30.06.2013, 16:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1178
BatMan в сообщении #741789 писал(а):
Может на основе $a_{n+3}-a_{n+2}=\frac{a_n}{2n+6},a_0=a_1=a_2=1$ получить диффур $f'=\frac{f}{2x}$ ?

Это да, но однородные линейные диффуры никак не помогут найти нужный коэффициент, так как инвариантны по отношению к $f \to \lambda f$. А я сколько не вертел, у меня только такие диффуры и выходили.
sopor в сообщении #741812 писал(а):
Я смог найти производящую функцию для $a_n$, но что дальше делать - не знаю

Я тоже первым делом её нашел. С помощью производящей функции довольно быстро получается замкнутая формула для $a_n$. Наверняка это выражение можно как-то оценить, но уже голова не варит, завтра попробую.

(Функция и коэффициенты)

$$G(z)=\frac{e^{-\frac{z(z+2)}{4}}}{(1-z)^{3/2}}$$
$$a_n=\sum\lmits_{k=0}^{n}\left[\frac{(-1)^{n-k}}{2^k}{-\frac{3}{2} \choose n-k}\sum\limits_{s=0}^{k}\left(\frac{(-1)^s {s \choose k-s}}{s!}\right)\right]$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение01.07.2013, 02:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
$$a_n=e^{- \frac 3 4} \pi^{- \frac 1 2} n^{\frac 1 2} \left(2+\frac 7 {4 \, n}-\frac {23} {64 \, n^2} - \dots \right).$$

(Совет)

Рассмотрите производящую функцию в окрестности $1$ и найдите неизвестные коэффициенты $c_i$ в представлении $a_n=\sqrt n  \sum\limits_{i=0}^{\infty} \frac {c_i} {n^i}$. Там должна возникнуть гамма-функция $\Gamma (\frac 3 2 - i)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение01.07.2013, 06:06 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Можно действовать по такой схеме.
Рассмотрим функцию $\frac {f(z)}{(1-z)^{3/2}}$ с "хорошей" $f(z)$. Поскольку поведение коэффициентов ряда тесно связано с радиусом сходимости, а он, в свою очередь, связан с особенностями функции, разумно предположить, что искомое поведение можно получить из разложения функции $\frac {f(1)}{(1-z)^{3/2}}$.
Пусть
$\frac {f(z)}{(1-z)^{3/2}} = \sum a_n z^n$
$\frac {f(1)}{(1-z)^{3/2}} = \sum b_n z^n$
С помощью формулы Коши покажите, что $a_n - b_n = O(1)$
Ну а коэффициенты $b_n$ уже находим непосредственным дифференцированием (ну и формула Стирлинга, естественно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение01.07.2013, 20:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
А можно все-таки поподробнее по поводу асимптотики в окрестности единицы? Я что-то не догоняю. А явная формула для последовательности получается жуткая

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение02.07.2013, 17:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/12/11
640
Україна
SpBTimes в сообщении #742227 писал(а):
А можно все-таки поподробнее по поводу асимптотики в окрестности единицы? Я что-то не догоняю.
Пусть $a_n=C \sqrt n+b_n$, где $b_n=o(\sqrt n)$, а $F(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \dfrac {e^{-\frac {x(x+2)} 4}} {(1-x)^{\frac 3 2}}$.
Берём $x=1-\varepsilon$, где $\varepsilon \to 0+$. Выделяем "главную часть" $F(x)$, равную $G(x)=C \sum\limits_{n=0}^{\infty} \sqrt n x^n=C \sum\limits_{n=0}^{\infty} n^{\frac 1 2} e^{\ln x \cdot n}$.
Далее замена $t=-\ln x \cdot n$. Видим, что $$(-\ln (1-\varepsilon))^{\frac 3 2} G(1-\varepsilon)=C(-\ln (1-\varepsilon)) \sum\limits_{t=-\ln (1-\varepsilon) \cdot n} {t^{\frac 1 2}} e^{-t},$$ с точностью до множителя $C$ - интегральная сумма для $\Gamma(\frac 3 2)=\int\limits_0^{+\infty}\!t^{\frac 1 2}e^{-t}\,dt$. Ну а $\varepsilon^{\frac 3 2} F(1-\varepsilon)=e^{-\frac 3 4 - \varepsilon - \frac {\varepsilon^2} 4}$. Значит $C \, \Gamma(\frac 3 2)=e^{-\frac 3 4}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел последовательности
Сообщение02.07.2013, 20:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Dave
Интересно, спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group