2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Группы Галуа, помогите вычислить.
Сообщение23.06.2013, 19:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Собственно, надо посчитать $\mathrm{Gal}(\mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F}_p)$ для всех $n\in\mathbb{N}$. То что это расширение Галуа я доказал, дальше все :? .

(Оффтоп)

Она случайно не будет порождена автоморфизмом Фробениуса?

Надо посчитать $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{F}_p}/\mathbb{F}_p)$. Тут хотелось бы понять для начала, почему это расширение Галуа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы Галуа, помогите вычислить.
Сообщение23.06.2013, 19:59 
Заслуженный участник


29/04/12
268
xmaister в сообщении #739675 писал(а):
То что это расширение Галуа я доказал, дальше все

Дальше можно рассмотреть подгруппу, порождённую автоморфизмом Фробениуса, и применить теорему Галуа (о соответствии).

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы Галуа, помогите вычислить.
Сообщение23.06.2013, 20:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Рассмотрел, получается, что т.к. $f^l(z)=f^s(z)\Leftrightarrow l\equiv s\pmod{n}$, где $f$- автоморфизм Фробениуса, то $\langle f\rangle\cong\mathbb{Z}_n$, по мощности $\langle f\rangle$ и $\mathrm{Gal}(\mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F}_p)$ совпадают, значит они равны, так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы Галуа, помогите вычислить.
Сообщение23.06.2013, 20:27 
Заслуженный участник


29/04/12
268
Можно и так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы Галуа, помогите вычислить.
Сообщение23.06.2013, 21:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
А можно еще как-то? Кстати, а что со вторым делать, можете навести на мысль?

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы Галуа, помогите вычислить.
Сообщение23.06.2013, 21:31 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
По второму: $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb F_p}/\mathbb F_p)\cong \mathop{\underleftarrow{\lim}} \mathrm{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p)$, проективный предел. Это т.н. "проконечное пополнение $\mathbb Z$", довольно уродливая штука. Я где-то тут на форуме спрашивал про него, оно несчетно.

-- Вс июн 23, 2013 22:37:21 --

Вот: topic54374.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы Галуа, помогите вычислить.
Сообщение23.06.2013, 22:04 
Заслуженный участник


29/04/12
268
Joker_vD в сообщении #739721 писал(а):
А можно еще как-то?

Так, как я написала во втором сообщении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы Галуа, помогите вычислить.
Сообщение23.06.2013, 22:36 
Заслуженный участник


08/01/12
915

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #739721 писал(а):
Это т.н. "проконечное пополнение $\mathbb Z$", довольно уродливая штука.

Отчего ж уродливая? Милая и прекрасная штука, просто-напросто произведение всех колец целых $p$-адических чисел. Много где встречается в математике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы Галуа, помогите вычислить.
Сообщение23.06.2013, 23:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
lena7 в сообщении #739731 писал(а):
Так, как я написала во втором сообщении.

Так я так и сделал. Рассмотрел группу, порожденную автоморфизмом Фробениуса и применил основную теорему теории Галуа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы Галуа, помогите вычислить.
Сообщение24.06.2013, 04:58 
Заслуженный участник


29/04/12
268
xmaister
Я имела в виду так: неподвижное поле у $\langle f\rangle$ равно в точности $\mathbb F_p$, поэтому все автоморфизмы этим и исчерпываются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы Галуа, помогите вычислить.
Сообщение24.06.2013, 18:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Joker_vD в сообщении #739721 писал(а):
По второму: $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb F_p}/\mathbb F_p)\cong \mathop{\underleftarrow{\lim}} \mathrm{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p)$, проективный предел.

Опять эти пределы :facepalm:. Я пытался разобраться с определением предела, то что в Маклейне, но так и не пришел к успеху. Можно ли это как-то сформулировать без всяких там диагональных функторов?

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы Галуа, помогите вычислить.
Сообщение24.06.2013, 19:44 
Заслуженный участник


29/04/12
268

(Оффтоп)

Я мыслю проективный предел как "бесконечные цепочки прообразов" (для данной системы объектов и морфизмов), а прямой предел -- как фактор прямой суммы, такой что каждый элемент отождествляется со своим образом (интуитивно -- объединение). Морфизмы в проективной системе удобно мыслить как проекции, а в прямом -- как вложения.

Пример. Целые $p$-адические числа $\hat{\mathbb Z}_p$ -- это проективный предел системы групп $\ldots\xrightarrow{f_3}\mathbb Z_{p^3}\xrightarrow{f_2}\mathbb Z_{p^2}\xrightarrow{f_1}\mathbb Z_{p}$, где $f_i$ -- канонические проекции. То есть $p$-адические целые -- это бесконечные цепочки прообразов: $(\ldots,x_2,x_2,x_1)$, где $x_i\in \mathbb Z_{p^i}$ и $f_i(x_{i+1})=x_i$. Лучше понимается, если взять маленькое $p$ (скажем, $3$) и начинать строить такие цепочки.

Пример. Группа Прюфера $\mathbb Z_{p^{\infty}}$ (корни из единицы всевозможных степеней $p$) -- прямой предел системы, состоящей тоже из $\mathbb Z_{p^i}$, но морфизмы в другую сторону -- вложения, а именно умножение на $p$. Чтобы получить группу Прюфера, нужно взять прямую сумму всех $\mathbb Z_{p^i}$ и отождествить каждый элемент со своим образом (то есть, интуитивно, объединить все $\mathbb Z_{p^i}$). Лучше понимается, если думать корни из единицы как вершины многоугольников на еденичной окружности в $\mathbb C$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы Галуа, помогите вычислить.
Сообщение24.06.2013, 20:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
lena7
Не понимаю. Что такое проективная/прямая система? Эти 2 понятие дается только для групп или в произвольной категории? Маклейн дает определение предела диаграммы функтора:
Изображение
Как по мне, это определение слишком общее и пользоваться им в народном хозяйстве наверное сложно. Я не представляю, как вычислисть
Joker_vD в сообщении #739721 писал(а):
$\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb F_p}/\mathbb F_p)\cong \mathop{\underleftarrow{\lim}} \mathrm{Gal}(\mathbb F_{p^n}/\mathbb F_p)$

таким макаром.

-- 24.06.2013, 21:49 --

Прошу наводку по еще одной задаче. Пусть $f=x^{2n}+x^n+1\in\mathbb{F}_2[x]$. Нужно найти его $\mathrm{Gal}(f)$ при $n=3^k,k\in\mathbb{N}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы Галуа, помогите вычислить.
Сообщение24.06.2013, 20:55 
Заслуженный участник


29/04/12
268

(Оффтоп)

xmaister в сообщении #740035 писал(а):
Не понимаю. Что такое проективная/прямая система? Эти 2 понятие дается только для групп или в произвольной категории? Маклейн дает определение предела диаграммы функтора:

Лучше начинать с алгебры (группы, кольца...), а уже потом абстрагироваться до произвольных категорий, а не наоборот. Пределы групп рассмотрены, например, в Dummit--Foote (ещё есть в английской википедии). Их проще всего понять. Есть примеры, которые можно потрогать (два я уже привела). Почти дословно пределы групп переносятся на кольца и модули. Абстракция до произвольной категории получается рассмотрением универсального свойства прямого и обратного предела и закладывания его в определение. Маклейн вообще сложный, лучше его не читать раньше времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Группы Галуа, помогите вычислить.
Сообщение25.06.2013, 04:38 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
xmaister в сообщении #740035 писал(а):
Прошу наводку по еще одной задаче. Пусть $f=x^{2n}+x^n+1\in\mathbb{F}_2[x]$. Нужно найти его $\mathrm{Gal}(f)$ при $n=3^k,k\in\mathbb{N}$.
Это круговой многочлен порядка $3^{k+1}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group