2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: математическая индукция и сигма-алгебра
Сообщение20.06.2013, 00:23 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Tigran-aminator в сообщении #738577 писал(а):
Otta

Вот утверждение: «Сумма углов в выпуклом многоугольнике с $n + 2$ сторонами равна $180n$»

Важное уточнение: для всех натуральных $n$.
Так оно звучит полностью.

Вот и давайте смотреть. Как Вам удобнее смотреть, на отрезках? Или? у меня там еще потом пример был.

 Профиль  
                  
 
 Re: математическая индукция и сигма-алгебра
Сообщение20.06.2013, 00:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Tigran-aminator в сообщении #738577 писал(а):
Otta

Вот утверждение: «Сумма углов в выпуклом многоугольнике с $n + 2$ сторонами равна $180 *n$»
Вот в этом утверждении явно фигурирует произвольное конечное $n$.
И в утверждении "если объединение любых 2 множеств алгебры принадлежит алгебре, то и объединение любых $n$ множеств алгебры принадлежит алгебре" тоже есть произвольное конечное $n$.
Индукцией можно доказывать только такие утверждения.

А в утверждении "если объединение любых 2 множеств алгебры принадлежит алгебре, то и объединение любой бесконечной последовательности множеств алгебры принадлежит алгебре" такого $n$ нет, и его индукцией не доказать, оно неверное.

 Профиль  
                  
 
 Re: математическая индукция и сигма-алгебра
Сообщение20.06.2013, 00:26 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Xaositect в сообщении #738579 писал(а):
Индукцией можно доказывать только такие утверждения.

А в утверждении "если объединение любых 2 множеств алгебры принадлежит алгебре, то и объединение любой бесконечной последовательности множеств алгебры принадлежит алгебре" такого $n$ нет, и его индукцией не доказать, оно неверное.

На самом деле, это в точности то, что я хотела сказать.
Только подкрепив примером. Если еще осталась необходимость - пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: математическая индукция и сигма-алгебра
Сообщение20.06.2013, 00:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Otta в сообщении #738581 писал(а):
На самом деле, это в точности то, что я хотела сказать.
Ну это то, чего я хотел добиться от топикстартера просьбой сформулировать, а что он, собственно, доказал.
Но, видимо, у него пока нет навыка строго формулировать все, что утверждается.

 Профиль  
                  
 
 Re: математическая индукция и сигма-алгебра
Сообщение20.06.2013, 00:32 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Xaositect в сообщении #738583 писал(а):
Ну это то, чего я хотел добиться от топикстартера просьбой сформулировать, а что он, собственно, доказал.
Но, видимо, у него пока нет навыка строго формулировать все, что утверждается.

Не знаю, в чем там проблема. Если бы он хоть раз порисовал, то, что сам утверждает, пощупал бы ручками, глядишь, и вопросы бы снялись.

 Профиль  
                  
 
 Re: математическая индукция и сигма-алгебра
Сообщение20.06.2013, 00:40 


18/06/13
58
Otta
Xaositect

Сейчас я обратил внимание, что во всех утверждениях подобного типа подразумевается зафиксированное значение n, поэтому этот пример не аналогичен бесконечному объединению событий. С этим все ясно, теперь.

Осталось понять вот этот кусок
Индукцией можно доказывать только такие утверждения.

А в утверждении "если объединение любых 2 множеств алгебры принадлежит алгебре, то и объединение любой бесконечной последовательности множеств алгебры принадлежит алгебре" такого нет, и его индукцией не доказать, оно неверное.


-- 20.06.2013, 01:47 --

Xaositect, вы говорили про "объединением всех (переход к предельному ординалу)" об этом слышу в первый раз. Получается что с предельным переходом у меня проблемы.

Otta, Xaositect благодарю за потраченное время, кое-что я понял

 Профиль  
                  
 
 Re: математическая индукция и сигма-алгебра
Сообщение20.06.2013, 00:49 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Tigran-aminator в сообщении #738587 писал(а):
Осталось понять вот этот кусок
Индукцией можно доказывать только такие утверждения.

А в утверждении "если объединение любых 2 множеств алгебры принадлежит алгебре, то и объединение любой бесконечной последовательности множеств алгебры принадлежит алгебре" такого нет, и его индукцией не доказать, оно неверное.

Это утверждение не зависит ни от какого $n$. Взяли, объединили счетное число множеств. Получили нечто. Индукция тут ни при чем, так как это нечто - это какое-то множество, от $n$ не зависящее.

А что утверждение неверное - это отдельный вопрос. Вообще говоря, неверное, объединение счетного числа элементов алгебры не обязано ей принадлежать. Для сигма-алгебр оно должно выполняться по определению, иначе это не сигма-алгебра.

 Профиль  
                  
 
 Re: математическая индукция и сигма-алгебра
Сообщение20.06.2013, 01:10 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Рискну сформулировать непонятку Tigran-aminator. Жаль, что я немного опоздал.

Пусть $\mathbb N_{1,n}$ обозначает множество натуральных чисел от $1$ до $n$ включительно. Можно написать: $\mathbb N_{1,n}=\cup_{k=1}^{n} \{k\}$.
Допустим, что число $1$ принадлежит некоторому множеству $P$. Тогда $\mathbb N_{1,1}\subset P$.
Допустим, что если $\mathbb N_{1,n}\subset P$, то $\mathbb N_{1,n+1}\subset P$.
По индукции мы можем доказать, что $(\forall n\in \mathbb N)\;\;\mathbb N_{1,n}\subset P$.
Теперь вопрос. Доказывает ли последнее утверждение, что $\cup_{k=1}^{\infty} \{k\}=\mathbb N\subset P$ ?

Если доказывает, то кто позволил внезапно написать счётное объединение?
Если не доказывает, то каким образом мы можем прийти к этому абсолютно очевидному выводу, $\mathbb N\subset P$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: математическая индукция и сигма-алгебра
Сообщение20.06.2013, 01:17 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
svv в сообщении #738594 писал(а):
принадлежит некоторому множеству P

А пусть $P$ - система множеств, состоящих из конечного числа элементов. Для определенности.

(Оффтоп)

svv
Мне кацца, для этой ветки будет лучше писать $\in$ вместо $\subset$.

 Профиль  
                  
 
 Re: математическая индукция и сигма-алгебра
Сообщение20.06.2013, 01:28 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora

(Оффтоп)

Otta писал(а):
$\in$
Мне будет стыдно перед Xaositect.

 Профиль  
                  
 
 Re: математическая индукция и сигма-алгебра
Сообщение20.06.2013, 01:46 


18/06/13
58
svv

Как я понял из всего выше сказанного, не доказывает, а вот как доказать $\mathbb N\subset P$ , я не могу придумать

 Профиль  
                  
 
 Re: математическая индукция и сигма-алгебра
Сообщение20.06.2013, 01:50 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Насколько я понимаю, svv пытался донести до нас (и до Вас), возможную проблему в Вашем восприятии определения сигма-алгебры. Знак принадлежности $\in$ и знак включения $\subset$ - не одно и тоже.

Так вот его утверждение - верно. Это доказать легко. Но оно не имеет ничего общего с тем, что Вам нужно доказать. А нужно доказать, что все эти множества $\in P$. А это верно вовсе не для всех $P$. Скажем, для этого
Otta в сообщении #738595 писал(а):
А пусть $P$ - система множеств, состоящих из конечного числа элементов. Для определенности.

очевидно, неверно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group