2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение связи
Сообщение05.06.2013, 12:52 
Аватара пользователя


10/01/12
314
Киев
Задача 1 (Нерастяжимая нить).
Найти условие, которому должно удовлетворять мгновенное значение касательной компоненты скорости $v_\tau(s)$ нерастяжимой нити; $s$ -- натуральный параметр вдоль нити.

Задача 2 (Твердое тело).
Пусть $\vec{v}(\vec{r})$ -- мгновенное поле скоростей твердого тела. Найти локальное условие, которому должно удовлетворять $\vec{v}(\vec{r})$. Является ли это условие достаточным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение связи
Сообщение05.06.2013, 13:33 


10/02/11
6786
lucien в сообщении #732910 писал(а):
Задача 2 (Твердое тело).
Пусть $\vec{v}(\vec{r})$ -- мгновенное поле скоростей твердого тела. Найти локальное условие, которому должно удовлетворять $\vec{v}(\vec{r})$. Является ли это условие достаточным?

если среда является твердым телом то ротор поля скоростей не зависит от точки, обратное неверно, вообще говоря

lucien в сообщении #732910 писал(а):
Задача 1 (Нерастяжимая нить).
Найти условие, которому должно удовлетворять мгновенное значение касательной компоненты скорости $v_\tau(s)$ нерастяжимой нити; $s$ -- натуральный параметр вдоль нити.

$$\frac{\partial}{\partial s} v_\tau=-k(s)v_n$$
$k$ -- кривизна нити (если в знаке не ошибся)

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение связи
Сообщение05.06.2013, 14:02 
Аватара пользователя


10/01/12
314
Киев
Oleg Zubelevich в сообщении #732936 писал(а):
ротор поля скоростей не зависит от точки, обратное неверно, вообще говоря
Тогда переформулирую: написать условие, котрое является необходимым и достаточным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение связи
Сообщение05.06.2013, 19:15 


10/02/11
6786
видимо тема инспипирирована этим topic73154.html :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение связи
Сообщение05.06.2013, 20:33 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Задача 1.
$\mathbf r=\mathbf r(s, t)$
$\frac{\partial \mathbf r}{\partial s}\cdot\frac{\partial \mathbf r}{\partial s}=1$
$\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial \mathbf r}{\partial s}\cdot\frac{\partial \mathbf r}{\partial s}\right)=0$
$\frac{\partial}{\partial s}\frac{\partial \mathbf r}{\partial t}\cdot \boldsymbol\tau=0$
$\frac{\partial\mathbf v}{\partial s}\cdot \boldsymbol\tau =0$
$\frac{\partial}{\partial s}(\mathbf v\cdot \boldsymbol\tau)=\mathbf v\cdot\frac{\partial \boldsymbol\tau}{\partial s}$
$\frac{\partial v_{\tau}}{\partial s}=k\mathbf n\cdot\mathbf v$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение связи
Сообщение05.06.2013, 20:36 


10/02/11
6786
Oleg Zubelevich в сообщении #732936 писал(а):
$$\frac{\partial}{\partial s} v_\tau=-k(s)v_n$$


svv в сообщении #733180 писал(а):
$\frac{\partial v_{\tau}}{\partial s}=k\mathbf n\cdot\mathbf v$


это из серии "найдите пять отличий"? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение связи
Сообщение05.06.2013, 20:42 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Ой, извините...
Получилось так: я посмотрел на Ваше сообщение и увидел, что оно вроде бы посвящено задаче 2. :oops:

Przepraszam pana...

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение связи
Сообщение05.06.2013, 20:50 


10/02/11
6786
nie szkodzi :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение связи
Сообщение07.06.2013, 01:04 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Задача 2.
Приведу своё решение, может, кому-то пригодится.
Две системы координат:
$K$ -- лабораторная: пространственные координаты $x^i$ и время $t$.
$K'$ -- связанная с телом: $\xi^i$ и время $\tau$.
$t=\tau$, но для порядка я их буду различать.

При движении твердого тела расстояния между его точками сохраняются, отсюда можно вывести, что компоненты метрического тензора в $K'$ не зависят от $\tau$:
$\frac{\partial}{\partial \tau}g'_{\ell m}(\xi, \tau)=0$
Так как $g'_{\ell m}=g_{ik}\frac{\partial x^i}{\partial \xi^\ell}\frac{\partial x^k}{\partial \xi^m}$, то
$\frac{\partial g_{ik}}{\partial \tau}\frac{\partial x^i}{\partial \xi^\ell}\frac{\partial x^k}{\partial \xi^m}+g_{ik}\frac{\partial^2 x^i}{\partial\tau\partial \xi^\ell}\frac{\partial x^k}{\partial \xi^m}+g_{ik}\frac{\partial x^i}{\partial \xi^\ell}\frac{\partial^2 x^k}{\partial\tau\partial \xi^m}=0$
Компоненты $g_{ik}$ не зависят от $t$ явно (так задаём $K$), но зависят от $x(\xi, \tau)$:
$\frac{\partial}{\partial \tau}g_{ik}(x(\xi, \tau))=\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^n}\frac{\partial x^n}{\partial \tau}=v^n\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^n}$, поэтому
$v^n\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^n}\frac{\partial x^i}{\partial \xi^\ell}\frac{\partial x^k}{\partial \xi^m}+g_{ik}\frac{\partial v^i}{\partial \xi^\ell}\frac{\partial x^k}{\partial \xi^m}+g_{ik}\frac{\partial x^i}{\partial \xi^\ell}\frac{\partial v^k}{\partial \xi^m}=0$

Потребуем, чтобы в момент $t=\tau=0$ было $x^i=\xi^i$. Тогда в этот момент
$v^n\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^n}\delta^i_\ell \delta^k_m+g_{ik}\frac{\partial v^i}{\partial x^\ell}\delta^k_m+g_{ik}\delta^i_\ell\frac{\partial v^k}{\partial x^m}=0$
$v^n\frac{\partial g_{\ell m}}{\partial x^n}+g_{i m}\frac{\partial v^i}{\partial x^\ell}+g_{\ell k}\frac{\partial v^k}{\partial x^m}=0$
$\mathcal{L}_v g=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение связи
Сообщение07.06.2013, 09:18 


10/02/11
6786
это называется тензор скоростей деформаций равен нулю, я на это и намекал там выше

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение связи
Сообщение11.06.2013, 14:08 
Аватара пользователя


10/01/12
314
Киев
К задаче 2.

Условие того, что тело в некотрой точке недеформированно в направлении вектора $\vec{a}$:
$$
\quad \vec{a}(\vec{a}\nabla)\vec{v}=0
$$
Поскольку направление $\vec{a}$ произвольное, то (ответ к задаче2)
$$
\partial_i v_j+\partial_j v_i=0.\eqno(1)
$$
Чтобы доказать, что это условие также и достаточное, найдем общее решение (1).

Положив в (1) $i=j$, находим
$$
\partial_i v_i=0\quad\mbox{(нет суммирования по $i$).}\eqno(2)
$$
Теперь продифференцируем (1) еще раз
$$
\partial_i^2 v_j=-\partial_j(\partial_i v_i)=0
$$
т.е. $v_i$ зависит от координат лишь линейно, причем $v_i$ не зависит от $x_i$ (из (2)):
$$
v_i=\sum_{i\neq j}a_{ij}x_j+b_i
$$
Подставляя это в (1) находим, что $a_{ij}=-a_{ji}$, т.е.
$$
\vec{v}=\vec{v}_0+[\vec{\omega},\vec{r}]\,,\quad \vec{v}_0,\vec{\omega}=\overrightarrow{\mathrm{const}}.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение связи
Сообщение11.06.2013, 15:09 


10/02/11
6786
lucien в сообщении #735385 писал(а):
(ответ к задаче2)
$$ \partial_i v_j+\partial_j v_i=0.\eqno(1) $$


который уже выписан:
svv в сообщении #733812 писал(а):
$v^n\frac{\partial g_{\ell m}}{\partial x^n}+g_{i m}\frac{\partial v^i}{\partial x^\ell}+g_{\ell k}\frac{\partial v^k}{\partial x^m}=0$

lucien в сообщении #735385 писал(а):
Чтобы доказать, что это условие также и достаточное,

следует непосредственно из определения производной Ли

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение связи
Сообщение11.06.2013, 15:21 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Oleg Zubelevich
Не беспокойтесь, lucien не утверждала, что мы не решили. :-) Она просто показала самое удачное, с её точки зрения, решение. Разумеется, мы его тоже засчитываем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение связи
Сообщение12.06.2013, 10:00 


10/02/11
6786
вот кстати, а как из этого
svv в сообщении #733812 писал(а):
$v^n\frac{\partial g_{\ell m}}{\partial x^n}+g_{i m}\frac{\partial v^i}{\partial x^\ell}+g_{\ell k}\frac{\partial v^k}{\partial x^m}=0$

получить это
lucien в сообщении #735385 писал(а):
$$ \partial_i v_j+\partial_j v_i=0.\eqno(1) $$

:?:
нужны условия совместности деформаций, в силу этих условий существует система координат в которой $g_{ij}=\delta_{ij}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group