Доказать тождество

[KiberMath]

$\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$
Как из левой части получить правую?

[photon]

А что там получается, если обе части в квадрат возвести?

[незваный гость]

Только не забудьте при возведении в квадрат проверить ообласти определения правой и левой части — а друг они не совпадают…

[tolstopuz]

KiberMath писал(а):

Как из левой части получить правую?

$$\sqrt{a+\sqrt b}=\sqrt u+\sqrt v$$

$$a+\sqrt b=u+v+2\sqrt{uv}$$

Так как неизвестных два, а уравнение одно, решений много. Одно из решений получается, если разбить равенство на два:

$$u+v=a, uv=\frac b 4$$

По теореме Виета $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения

$$x^2-ax+\frac b 4=0$$

Остается только решить его.

[KiberMath]

tolstopuz
Вот это было хитро..
А существует док-во попроще (более очевидное)???

[незваный гость]

Вы, кажется, смешиваете доказательство (оно простое, возведение в квадрат правой и левой части) тождества, и метод изобретения тождества (tolstopuz).

[KiberMath]

незваный гость
Да... действительно ...
Я им ел в виду метод изобретения тождества

[maxal]

Позволю себе ввести штрихи в вашем тождестве:

KiberMath писал(а):

$\sqrt{a'+\sqrt{b'}}=\sqrt{\frac{a'+\sqrt{a'^2-b'}}{2}}+\sqrt{\frac{a'-\sqrt{a'^2-b'}}{2}}$
Как из левой части получить правую?

Общее тождество данного типа представлено здесь:
http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=58316#58316

Для получения вашего тождества там нужно положить:
$n=2$
$a = \sqrt{a'+\sqrt{b'}}$
$b = 1$
$c = a'-\sqrt{b'}$

Для получения аналогичных равенств более высоких порядков можно взять большее значение $n$, а значения $a,b,c$ оставить прежними.