Конфликтуют две теории

[Munin]

Humanoid в сообщении #734233 писал(а):

В системе зеркала лазер является фотонной ракетой. :)

Нет, лазер закреплён. Это зеркало наполовину является фотонной ракетой.

[Humanoid]

Munin в сообщении #734261 писал(а):

Нет, лазер закреплён. Это зеркало наполовину является фотонной ракетой.

Не-не-не, мистер Фримен, именно ракетой. Если зеркало взять за точку отсчёта, то лазер ускоренно удаляется от неё. На собственной реактивной тяге. Вот только вопрос соотношения масс..

[DimaM]

Humanoid в сообщении #734380 писал(а):

Если зеркало взять за точку отсчёта, то лазер ускоренно удаляется от неё. На собственной реактивной тяге.

Если зеркало взять за точку отсчета, на лазер действует сила инерции.

[svv]

Humanoid в сообщении #734380 писал(а):

Если зеркало взять за точку отсчёта, то лазер ускоренно удаляется от неё. На собственной реактивной тяге.

Красивая могла бы быть трактовка. Но, представьте, рядышком стоят два лазера. Один лазер светит в зеркало, другой выключен. А ускоренно удаляются-то оба! Ну, хорошо, один за счёт реактивной тяги. А второй?

[Humanoid]

svv в сообщении #734383 писал(а):

Но, представьте, рядышком стоят два лазера. Один лазер светит в зеркало, другой выключен. А ускоренно удаляются-то оба! Ну, хорошо, один за счёт реактивной тяги. А второй?

Равботает один из двигателей. Полтяги, ПОЛУСКОРЕНИЯ.

[Munin]

Humanoid в сообщении #734380 писал(а):

Если зеркало взять за точку отсчёта

чего делать нельзя. Всё?

В СТО ускоренное движение не относительно. В ОТО оно может считаться относительным, но потребует введения гравитационного поля. В результате, лазер не будет ускоряться на собственной тяге, а будет всего лишь свободно падать от тяготения.

И наконец, в задаче лазер просто закреплён. Никакой ракетой он быть не может, потому что стоит на месте.

[Someone]

Humanoid в сообщении #734387 писал(а):

Равботает один из двигателей. Полтяги, ПОЛУСКОРЕНИЯ.

Да пусть второй "двигатель" тоже работает, только светит мимо зеркала. Теперь тяга полная, но всё равно "полускорения".

А вообще, можно легко рассчитать, как будет двигаться звездолёт, разгоняемый падающим на его зеркало потоком света.

Humanoid в сообщении #687453 писал(а):

Разгон объекта световым давлением пропрорционален мощности светового потока, а поток зависит только от расстояния от источника (закон площадей). Но кинетическая энергия объекта зависит от квадрата скорости. Что-то не стыкуется...

Все величины измеряем в инерциальной системе отсчёта, относительно которой рассматриваем движение звездолёта. Эту систему отсчёта для удобства называем "неподвижной". Массу звездолёта обозначим $m$. Считаем, что падающий на зеркало свет отражается полностью.
Предположим, что за некоторый промежуток времени $\Delta t$ на зеркало "упало" некоторое количество света с энергией $\Delta E$, а отражённый свет унёс энергию $\Delta E'$. При этом импульс "упавшего" света равен $\frac{\Delta E}c$, а импульс отражённого - $-\frac{\Delta E'}c$. Скорость звездолёта при этом изменилась от $v$ до $v'=v+\Delta v$.
Записывая законы сохранения энергии и импульса, получим систему уравнений

$$\begin{cases}\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+\Delta E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v'^2}{c^2}}}+\Delta E',\\ \frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+\frac{\Delta E}c=\frac{mv'}{\sqrt{1-\frac{v'^2}{c^2}}}-\frac{\Delta E'}c.\end{cases}\eqno(1)$$

Умножая второе уравнение на $c$ и складывая с первым, получим

$$\frac{mc(c+v)}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+2\Delta E=\frac{mc(c+v')}{\sqrt{1-\frac{v'^2}{c^2}}};$$

разделив это уравнение на $mc$ и обозначив для удобства

$$A=\frac{c+v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+\frac{2\Delta E}{mc},$$

получим для $v'$ уравнение

$$\frac{c+v'}{\sqrt{1-\frac{v'^2}{c^2}}}=A,$$

откуда легко находим

$$v'=\frac{c(A^2-c^2)}{A^2+c^2}.\eqno(2)$$

Приращение скорости, таким образом, равно

$$\Delta v=v'-v=\frac{c(A^2-c^2)}{A^2+c^2}-v=\frac{(c-v)A^2-(c+v)c^2}{A^2+c^2}.\eqno(3)$$

Далее находим

$$A^2=\frac{(c+v)^2}{1-\frac{v^2}{c^2}}+\frac{4(c+v)\Delta E}{mc\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}+\frac{4(\Delta E)^2}{m^2c^2}=c^2\frac{c+v}{c-v}+\frac 4m\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}\cdot\Delta E+\frac{4(\Delta E)^2}{m^2c^2},$$

$$(c-v)A^2-(c+v)c^2=\frac 4m\sqrt{c^2-v^2}\cdot\Delta E+o(\Delta E),$$

$$A^2+c^2=c^2\left(\frac{c+v}{c-v}+1\right)+o(1)=\frac{2c^3}{c-v}+o(1).$$

Наконец, подставляем два последних выражения в (3), делим на $\Delta t$ и переходим к пределу при $\Delta t\to 0$.
Предполагая, что все требуемые производные существуют, получаем уравнение движения звездолёта:

$$\frac{dv}{dt}=\frac 2{mc}\left(1-\frac vc\right)\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\cdot\frac{dE}{dt}.\eqno(4)$$

Это уравнение легко интегрируется с помощью подстановки $\sqrt{\frac{1+\frac vc}{1-\frac vc}}=u$. Если взять начальные условия $v|_{t=0}=0$ и $E|_{t=0}=0$, то получим

$$\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}=1+\frac{2E}{mc^2},$$

откуда легко найти зависимость скорости звездолёта от количества световой энергии, "упавшей" на зеркало звездолёта (напомню, что эта энергия, как и все прочие величины, измеряется в "неподвижной" системе отсчёта).

Рассмотрим, как растёт кинетическая энергия звездолёта

$$E_{\text{кин.}}=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-mc^2.\eqno(5)$$

Дифференцируя и подставляя выражение (4), получим

$$\frac{dE_{\text{кин.}}}{dt}=\frac{mv}{\sqrt{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^3}}\cdot\frac 2{mc}\left(1-\frac vc\right)\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\cdot\frac{dE}{dt}=\frac{2v}{c+v}\cdot\frac{dE}{dt}.\eqno(6)$$

Из этого выражения видим, что только часть энергии луча, падающей на зеркало, переходит в кинетическую энергию корабля: при малой скорости эта часть очень мала, а при приближении скорости корабля к скорости света доля этой энергии приближается к единице.

Рассмотрим идеализированную ситуацию, когда луч имеет постоянную мощность $W$, причём, весь попадает на зеркало звездолёта. Это означает, что за время $\Delta t$ неподвижное сечение пересекает энергия $W\Delta t$, заключённая в отрезке луча длины $c\Delta t$. Если звездолёт движется со скоростью $v$, то за время $\Delta t$ он переместится на расстояние $v\Delta t$, и на его зеркало "упадёт" отрезок луча длины $(c-v)\Delta t$ с энергией $\Delta E=\frac{c-v}cW\Delta t=\left(1-\frac vc\right)W\Delta t$. Поэтому в формулах (4) и (6)

$$\frac{dE}{dt}=\left(1-\frac vc\right)W.\eqno(7)$$

В частности, из формулы (6) получаем

$$\frac{dE_{\text{кин.}}}{dt}=\frac{2v(c-v)}{c(c+v)}W.\eqno(8)$$

Дробь $\frac{2v(c-v)}{c(c+v)}$ достигает максимума (равного $6-4\sqrt{2}$) при $v=(\sqrt{2}-1)c$, поэтому именно при этой скорости корабля энергетический КПД такой системы ускорения будет максимальным (с точки зрения неподвижного наблюдателя).

Подставляя выражение (7) в уравнение (4), получим уравнение движения корабля для этого случая:

$$\frac{dv}{dt}=\frac{2W}{mc}\left(1-\frac vc\right)^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.\eqno(9)$$

Интегрируя это уравнение с начальным условием $v|_{t=0}=0$ с помощью подстановки $\sqrt{\frac{1+\frac vc}{1-\frac vc}}=u$, получим решение в виде

$$\frac{2-\frac vc}{1-\frac vc}\sqrt{\frac{1+\frac vc}{1-\frac vc}}=2\left(1+\frac{3Wt}{mc^2}\right).\eqno(10)$$

Это уравнение можно разрешить относительно $v$. Обозначив для удобства $\varphi(t)=2\left(1+\frac{3Wt}{mc^2}\right)$, получим

$$v=c\left(1-\frac{\sqrt[3]{\sqrt{(\varphi(t))^2+1}-\varphi(t)}+\sqrt[3]{\sqrt{(\varphi(t))^2+1}+\varphi(t)}}{\sqrt{(\varphi(t))^2+1}}\right).\eqno(11)$$

Воспользовавшись формулой преобразования ускорения (формула (5), $u'=0$), найдём, что пассажиры нашего звездолёта будут наблюдать ускорение

$$w'=\frac{2W}{mc}\cdot\frac{1-\frac vc}{1+\frac vc},\eqno(12)$$

монотонно падающее по мере набора скорости.

[Munin]

Вот я дошёл до формулы (10), поленился разрешать относительно скорости, и выкладывать ничего не стал. А вы упорный! Да и уравнение решали, явно, кубическое.

Ещё из (11) и (12) можно вывести энергию и мощность как функцию от времени, раз уж она в первую очередь Humanoid интересует. Пусть убедится, что парадоксов тут нет.

P. S. Кстати, (12) можно не из (11) получать, а гораздо проще, в обход интегрирования.

[Someone]

Munin в сообщении #734847 писал(а):

P. S. Кстати, (12) можно не из (11) получать, а гораздо проще, в обход интегрирования.

А я и получал без интегрирования. Там же ссылка на формулу преобразования ускорения есть, а ускорение в неподвижной системе отсчёта нам известно из формулы (9).