2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Каждое значение -- континуум раз
Сообщение06.06.2013, 15:03 
Аватара пользователя
Существует ли функция, непрерывная на отрезке $[0; 1]$, отличная от константы и принимающая каждое своё значение континуум раз?

Сперва мне показалось, что $$f(x)=\sin{\frac{1}{x}}$$
годится, но...
Во-вторых, она не определена в нуле, а значит (или не значит?), не непрерывна на отрезке $[0; 1]$.
А во-первых, там, кажется, не континуум, а счётниум.

Взято отсюда.
Пожалуйста, помогите решить.

 
 
 
 Re: Каждое значение -- континуум раз
Сообщение06.06.2013, 15:04 
Аватара пользователя
Ktina в сообщении #733513 писал(а):
Во-вторых, она не определена в нуле, а значит (или не значит?), не непрерывна на отрезке $[0; 1]$.

Значит.
И действительно, там счетное

 
 
 
 Re: Каждое значение -- континуум раз
Сообщение06.06.2013, 15:06 
Аватара пользователя
SpBTimes в сообщении #733514 писал(а):
Значит.
И действительно, там счетное

Не могли бы Вы подсказать только на кончике вилочки идею, а не целиком?

 
 
 
 Re: Каждое значение -- континуум раз
Сообщение06.06.2013, 15:07 
Аватара пользователя
Воспользуйтесь тем, что непрерывная на отрезке функция принимает между двумя своими значениями и все промежуточные. Тем самым, хотя бы раз, между двумя иррациональными значениями она пройдет через рациональное (иначе она константа). А значит..

 
 
 
 Re: Каждое значение -- континуум раз
Сообщение06.06.2013, 15:08 
Аватара пользователя
SpBTimes в сообщении #733519 писал(а):
Воспользуйтесь тем, что непрерывная на отрезке функция принимает между двумя своими значениями и все промежуточные. Тем самым, хотя бы раз, между двумя иррациональными значениями она пройдет через рациональное (иначе она константа). А значит..

А значит, не было таких пряжек?

-- 06.06.2013, 15:11 --

В смысле, нет такой функции?

 
 
 
 Re: Каждое значение -- континуум раз
Сообщение06.06.2013, 15:27 
Аватара пользователя
post257892.html

 
 
 
 Re: Каждое значение -- континуум раз
Сообщение06.06.2013, 15:36 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #733527 писал(а):
http://dxdy.ru/post257892.html

И вот тоже: topic24128-4.html

 
 
 
 Re: Каждое значение -- континуум раз
Сообщение06.06.2013, 15:56 
Аватара пользователя
Ах ты, а я думал, там все проще.

 
 
 
 Re: Каждое значение -- континуум раз
Сообщение07.06.2013, 23:33 
Аватара пользователя
А функция $$f(x)=x\sin(2^x)$$
разве не континуум раз принимает каждое своё значение?

 
 
 
 Re: Каждое значение -- континуум раз
Сообщение08.06.2013, 00:19 
Аватара пользователя
Ktina в сообщении #734247 писал(а):
А функция $$f(x)=x\sin(2^x)$$
разве не континуум раз принимает каждое своё значение?

Ну...
$x\cdot \sin{(2^x)}=0 \Leftrightarrow \sin{(2^x)}=0 \Leftrightarrow x=\log_{2}{\pi} + \log_{2}{n}$. Счётнитуальнее не придумаешь :-)

 
 
 
 Re: Каждое значение -- континуум раз
Сообщение08.06.2013, 00:27 
Аватара пользователя
Legioner93 в сообщении #734272 писал(а):
Ну...
$x\cdot \sin{(2^x)}=0 \Leftrightarrow \sin{(2^x)}=0 \Leftrightarrow x=\log_{2}{\pi} + \log_{2}{n}$. Счётнитуальнее не придумаешь :-)

На каждом следующем единичном интервале наша функция принимает значение 0 вдвое чаще. А значит, при устремлении в бесконечность частота появлений нуля стремится к $2^{\infty}$, что и есть континуум.
В чём я не права?

 
 
 
 Re: Каждое значение -- континуум раз
Сообщение08.06.2013, 00:30 
Ktina в сообщении #734247 писал(а):
...разве не континуум раз принимает каждое своё значение?

:) Заведомо не надо искать потребную функцию среди аналитических.

 
 
 
 Re: Каждое значение -- континуум раз
Сообщение08.06.2013, 00:31 
Аватара пользователя
Otta в сообщении #734277 писал(а):
:) Заведомо не надо искать потребную функцию среди аналитических.

Почему?

 
 
 
 Re: Каждое значение -- континуум раз
Сообщение08.06.2013, 00:34 
Ktina в сообщении #734275 писал(а):
В чём я не права?

Грубо говоря, в том, что последовательность $1/2, 4/3, 5/3, 9/4, 10/4, 21/8, 11/4, \ldots$ - имеет мощность континуум.

-- 08.06.2013, 02:36 --

Ktina в сообщении #734278 писал(а):
Почему?

По теореме единственности.

 
 
 
 Re: Каждое значение -- континуум раз
Сообщение08.06.2013, 00:38 
Аватара пользователя
Ktina в сообщении #734275 писал(а):
Legioner93 в сообщении #734272 писал(а):
Ну...
$x\cdot \sin{(2^x)}=0 \Leftrightarrow \sin{(2^x)}=0 \Leftrightarrow x=\log_{2}{\pi} + \log_{2}{n}$. Счётнитуальнее не придумаешь :-)

На каждом следующем единичном интервале наша функция принимает значение 0 вдвое чаще. А значит, при устремлении в бесконечность частота появлений нуля стремится к $2^{\infty}$, что и есть континуум.
В чём я не права?

Счётное множество - множество, все элементы которого мы можем пронумеровать натуральными числами. Такую нумерацию $x_n=\log_{2}{\pi} + \log_{2}{n}$ я наглядно продемонстрировал.
А в этих рассуждениях про частоту появления нуля смысл отсутствует начисто.

 
 
 [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group