2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Обобщенные винтовые линии (дифгем)
Сообщение02.06.2013, 13:11 


22/01/13
89
Moscow
Здравствуйте! Вот не могу никак решить задачу:

Доказать, что кривая являеся обобщенной винтовой тогда и только тогда, когда смешанное произведение $$\langle \ddot{r} ,\dddot{r}, \ddddot{r} \rangle $$ равно нулю, где $\vec{r} = \vec{r}(t)$ — наша кривая.

Уже попробовал воспользоваться и тем, что отношение кривизны к кручению постоянно, и тем, что вектор скорости такой линии составляет постоянный угол с фиксированным направлением, ничего не выходит. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенные винтовые линии (дифгем)
Сообщение02.06.2013, 15:24 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
А что такое обобщённая винтовая линия?

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенные винтовые линии (дифгем)
Сообщение02.06.2013, 16:44 


22/01/13
89
Moscow
Линия называется обобщенной винтовой, если отношение ее кручения к ее кривизне постоянно. Эквивалентно: если вектор скорости этой кривой составляет постоянный угол с некоторым направлением. Эквивалентно: если вектор нормали перпендикулярен некоторому направлению.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенные винтовые линии (дифгем)
Сообщение02.06.2013, 19:04 


22/01/13
89
Moscow
Upd: в одну сторону (обобщенная винтовая -> смешанное произведение равно нулю) доказать удалось тупой нудной выкладкой на пару страниц. Если кто-то знает, в чём тут великая сермяжная правда - напишите, пожалуйста (не покидает меня мысль о том, что есть красивое короткое объяснение).

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенные винтовые линии (дифгем)
Сообщение02.06.2013, 20:08 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Простой частный случай, когда параметр натуральный. Его лучше обозначать $s$, а производные по нему -- штрихом.

Единичные векторы касательной, нормали и бинормали обозначим $\mathbf v, \mathbf n, \mathbf b$. Основной инструмент для дифференцирования -- формулы Френе:
$\mathbf v'=k\mathbf n$
$\mathbf n'=\varkappa \mathbf b-k\mathbf v$
$\mathbf b'=-\varkappa \mathbf n$

Результат запишем в виде матрицы:
$\begin{bmatrix}1&0&-k^2&-3kk'\\0&k&k'&k''-k^3-k\varkappa^2\\0&0&k\varkappa&2k'\varkappa+k\varkappa'\end{bmatrix}$
Это коэффициенты разложения производных $\mathbf r$ до четвертого порядка по базисным векторам ортонормированного репера Френе.
Столбцы соответствуют $\mathbf r', \mathbf r'', \mathbf r''', \mathbf r''''$.
Строки соответствуют базисным векторам $\mathbf v, \mathbf n, \mathbf b$.
Например, третий столбец означает, что $\mathbf r'''=-k^2\mathbf v+k'\mathbf n+k\varkappa\mathbf b$.
Матрицу эту можно получить либо тупым дифференцированием, либо чуть хитрее (если нужно, расскажу).

Теперь надо взять второй, третий и четвертый столбцы и записать их в виде определителя, что и даст нужное смешанное произведение через компоненты в базисе Френе:
$\langle \mathbf r'', \mathbf r''', \mathbf r''''\rangle =\begin{vmatrix}0&-k^2&-3kk'\\k&k'&k''-k^3-k\varkappa^2\\0&k\varkappa&2k'\varkappa+k\varkappa'\end{vmatrix}=k^3(\varkappa'k-\varkappa k')=k^5\left(\frac{\varkappa}{k}\right)'$
Чтобы $\varkappa$ было определено, необходимо $k\neq 0$. В таком случае равенство смешанного произведения нулю эквивалентно $\frac{\varkappa}{k}=\operatorname{const}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обобщенные винтовые линии (дифгем)
Сообщение03.06.2013, 18:20 


22/01/13
89
Moscow
svv
Спасибо, я всё так и делал, просто решение получилось довольно скучное: одни выкладки. Я думал, может это следует легче из каких-нибудь геометрических соображений, но всё равно спасибо за проделанную работу.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group