2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача на параметр
Сообщение01.06.2013, 18:35 


05/12/11
245
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$a^2+8|x-5|+2\sqrt{x^2-10x+29}=2a+|x-2a-5|$

имеет хотя бы один корень.

У меня возникла идея сделать замену $t=x-5$, получается

$a^2+8|t|+2\sqrt{t^2+4}=2a+|t-2a|$

Потом рассмотреть 2 случая:

a) $a\geqslant 0$. Тут выделяются 3 подслучая раскрытия модулей.

В каждом из случаев можно записать дискриминант квадратного уравнения относительно $a$. Поможет ли это

б) $a<0$.

$t\geqslant 2a$. Тут выделяются 3 подслучая раскрытия модулей. Далее, аналогично.

Мне кажется, что это не самое лучшее решение (если это можно назвать решением).

Можно ли здесь иначе сделать? Можно графически? Что посоветуете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на параметр
Сообщение01.06.2013, 18:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Левая часть не меньше $a^2+8|t|+4\geqslant4|a|+8|t|$, а правая часть не больше $2|a|+|t|+2|a|\le4|a|+8|t|$. Равенства возможны только при $t=0$, $a=|a|=2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на параметр
Сообщение01.06.2013, 19:31 


05/12/11
245
RIP в сообщении #731346 писал(а):
Левая часть не меньше $a^2+8|t|+4\geqslant4|a|+8|t|$, а правая часть не больше $2|a|+|t|+2|a|\le4|a|+8|t|$. Равенства возможны только при $t=0$, $a=|a|=2$.


Спасибо. Почему правая часть не больше -- ясно. А вот почему левая часть не меньше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на параметр
Сообщение01.06.2013, 21:44 


05/12/11
245
Спасибо, разобрался. Но в таком аналогичном случае этот метод не получается применить, так как оценки сверху и снизу не совпадают....

$a^2+9|t|+3\sqrt{t^2+4}=4a+2|t-2a|$

Левая часть не меньше $a^2+9|t|+6\geqslant \sqrt{6}|a|+9|t|$

Правая часть не больше $4a+2|t-2a|\leqslant 4a+2|t|+4a=8a+2|t|$

Как здесь тогда поступить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на параметр
Сообщение01.06.2013, 23:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
lampard

Вы не разобрались, что за оценка у левой части. Но тут и правильный вариант вроде бы не поможет

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на параметр
Сообщение01.06.2013, 23:49 


05/12/11
245
SpBTimes в сообщении #731398 писал(а):
lampard

Вы не разобрались, что за оценка у левой части. Но тут и правильный вариант вроде бы не поможет


Почему же? Это неравенство нетрудно доказать.

$a^2+8|t|+4\geqslant4|a|+8|t|$

$a^2-4|a|+4\geqslant 0$

$(|a|-2)^2\geqslant 0$

А это выполняется при любом $a$, а равенство достигается, когда $a=\pm 2$. А вот с тем примером, что выше -- аналогичным образом рассуждения провести мне не удалось(

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на параметр
Сообщение02.06.2013, 08:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
lampard
Я не про то. Оценку можно улучшить там, ведь $\geqslant 2 \sqrt{6}|a| + 9|t|$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на параметр
Сообщение02.06.2013, 10:44 


05/12/11
245
SpBTimes в сообщении #731445 писал(а):
lampard
Я не про то. Оценку можно улучшить там, ведь $\geqslant 2 \sqrt{6}|a| + 9|t|$


Да, спасибо, но это мало поможет.

-- 02.06.2013, 10:45 --

JIogin в сообщении #731447 писал(а):
Ребят, помогите с моим примером. Пытался ввести график, поочередно раскрывая модули, ничего не получилось(

Создавайте свои темы, что же вы мои портите?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на параметр
Сообщение02.06.2013, 19:07 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Сообщения JIogin отделены.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group