2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Фильтр, главный фильтр, ультрафильтр
Сообщение27.05.2013, 11:30 


28/12/12
12
Задача такая:
Привести пример неглавного фильтра, который можно расширить до ультрафильтра. Я начал так:
Построим фильтр над $\mathbb Q^+\cup\{0\}$.
Определим множество $A_q = \{p|(p\in\mathbb Q^+\cup\{0\})\land(p\geqslant0)\land(p<q)\}$.
Теперь определим фильтр $F = \{A_q|\forall q\in(\mathbb Q^+\cup\{0\})\ \ \ q>0\}$.
Фильтр неглавный, т.к. он не содержит минимального элемента по включению.
Теперь построим фильтр $G = \{F,\{0\}\}$.
Он главный, т.к. $\{0\}$ минимальный элемент по ключению.
Вопрос, является ли $G$ ультрафильтром?
Прочитал здесь http://inter-vuz.tuit.uz/Elib_baza//INTUIT.ru/html/department/calculate/lancalc/14/lancalc_14.html , что "Очевидно, любой главный фильтр является ультрафильтром", но так ли это и почему?
Еще известно, что любой фильтр можно достроить до ультрафильтра. Есть ли какой-нибудь простой пример неглавного фильтра, который можно достроить до главного ультрафильтра?
Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтр, главный фильтр, ультрафильтр
Сообщение27.05.2013, 13:22 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
TehNick в сообщении #728913 писал(а):
Теперь определим фильтр $F = \{A_q|\forall q\in(\mathbb Q^+\cup\{0\})\ \ \ q>0\}$.
Это не фильтр (а лишь база фильтра): нарушено условие $(\forall\,A,B\subseteq S)(A\in F\land A\subseteq B\Rightarrow B\in F)$, где $S:=\mathbb Q^+\cup\{0\}$.
(Кстати, в той Вашей формуле знак $\forall$ лишний, так не принято писать.)
TehNick в сообщении #728913 писал(а):
Теперь построим фильтр $G = \{F,\{0\}\}$.
Это множество $G$ даже не является подмножеством $\mathcal P(S)$. Если же Вы имели в виду $F\cup\bigl\{\{0\}\bigr\}$, то это тоже не фильтр — по той же причине, по которой $F$ не является фильтром.

Но Вы ошибаетесь на правильном пути. :-) Стоит Ваши примеры слегка подправить — и препод придет в восторг. ;-)
TehNick в сообщении #728913 писал(а):
Прочитал здесь http://inter-vuz.tuit.uz/Elib_baza//INTUIT.ru/html/department/calculate/lancalc/14/lancalc_14.html , что "Очевидно, любой главный фильтр является ультрафильтром", но так ли это и почему?
Если принимать приведенные в том тексте определения, то да, это так. (Иногда главным считается фильтр, порожденный любым непустым множеством, не обязательно одноэлементным.) Почему — доказывается в лоб, по определению.
TehNick в сообщении #728913 писал(а):
Есть ли какой-нибудь простой пример неглавного фильтра, который можно достроить до главного ультрафильтра?
Есть, и Вы близки к обнаружению такого примера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтр, главный фильтр, ультрафильтр
Сообщение27.05.2013, 19:24 


28/12/12
12
Немного переделал решение:
Теперь фильтр $F = \{M|(M\subseteq(\mathbb Q^+\cup\{0\}))\land([0;q) \subseteq M )\land(0<q\in \mathbb Q)\}$
Это фильтр, т.к. он замкнут относительно пересечения, все объемлющие множества содержатся в фильтре, пустое множество в нем не лежит. Он неглавный, потому что нет наименьшего элемента по включению.
Теперь насчет $G = F\cup\bigl\{\{0\}\bigr\}$
Это, как минимум, главный фильтр, т.к. он содержит минимальный элемент по включению.
А вот насчет ультрафильтр или нет не совсем ясно.
Пусть $I:=\mathbb Q^+\cup\{0\}$
Для произвольного $X \subseteq  I$ существует три варианта:
$1) \ X = \{0\} \cup \{...\}$ - ноль объединить с каким- либо множеством
$2) \ X = [0;q) \cup \{...\}$ - полуинтервал объединить с каким-либо множеством
$3) \ X = \{...\}\diagdown\{0\}$ - некоторое множество без нуля
В первом случае $X \in G$, во втором тоже.
В третьем $X \notin G$, следовательно дополнение должно лежать в $G$. $X$ не содержит $\{0\}$, следовательно дополнение содержит $\{0\}$, тогда дополнение согласно первому или второму случаю лежит в $G$. Ну если мои рассуждения правильные, то $G$ - главный ультрафильтр. Вопрос, правильные ли они?

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтр, главный фильтр, ультрафильтр
Сообщение28.05.2013, 08:44 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
TehNick в сообщении #729149 писал(а):
Теперь фильтр $F = \{M|(M\subseteq(\mathbb Q^+\cup\{0\}))\land([0;q) \subseteq M )\land(0<q\in \mathbb Q)\}$
Да, теперь это фильтр. И он действительно неглавный.
Кстати, на сей раз в Вашей формуле — наоборот — не хватает квантора.
Я бы написал так: $F=\{M\subseteq I : (\exists\,q\in\mathbb Q^+)\ [0,q)\subseteq M\}$.
TehNick в сообщении #729149 писал(а):
Теперь насчет $G = F\cup\bigl\{\{0\}\bigr\}$
Это, как минимум, главный фильтр
Увы, это по-прежнему не фильтр.
Причина — все та же: нарушено условие $(\forall\,A,B\subseteq I)(A\subseteq B\land A\in G\Rightarrow B\in G)$.
Например, $\{0\}\subseteq\{0,1\}$ и $\{0\}\in G$, но $\{0,1\}\notin G$.
TehNick в сообщении #729149 писал(а):
$X = \{0\} \cup \{...\}$ - ноль объединить с каким- либо множеством
[...] В первом случае $X \in G$
Теперь, наверное, понятно, что это не так — например, для $X=\{0,1\}$.

P.S. Еще чуть-чуть — и все получится! :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтр, главный фильтр, ультрафильтр
Сообщение28.05.2013, 09:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5904
Новосибирск
AGu в сообщении #729357 писал(а):
Еще чуть-чуть — и все получится!

А что должно получиться? Что ли это?
TehNick в сообщении #728913 писал(а):
Привести пример неглавного фильтра, который можно расширить до ультрафильтра

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтр, главный фильтр, ультрафильтр
Сообщение28.05.2013, 09:08 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
bot в сообщении #729362 писал(а):
А что должно получиться?
Как я понял, ТС стремится найти пример неглавного фильтра $F$ и расширяющего его главного ультрафильтра $G$. Первое ему уже удалось. Дело за вторым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтр, главный фильтр, ультрафильтр
Сообщение28.05.2013, 16:22 


28/12/12
12
Думаю теперь правильно.
Фильтр $F$ оставить неизменным, а $G$ определить так:
$G = F \cup \{Y\subseteq \mathbb Q^+|\{0\}\in Y\}$.
Теперь, вроде, все объемлющие множества нуля включены в $G$, в пересечении двух любых элементов из $G$ всегда лежит $\{0\}$, сушествует наименьший элемент по включению, а именно $\{0\}$, и последнее:
Пусть $I:=\mathbb Q^+\cup\{0\}$
Для произвольного $X \subseteq I$ существует три варианта:
$1) \ X = \{0\} \cup \{...\}$ - ноль объединить с каким- либо множеством
$2) \ X = [0;q) \cup \{...\}$ - полуинтервал объединить с каким-либо множеством
$3) \ X = \{...\}\diagdown\{0\}$ - некоторое множество без нуля
В первом случае $X \in G$, во втором тоже.
В третьем $X \notin G$, следовательно дополнение должно лежать в $G$. $X$ не содержит $\{0\}$, следовательно дополнение содержит $\{0\}$, тогда дополнение согласно первому или второму случаю лежит в $G$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтр, главный фильтр, ультрафильтр
Сообщение28.05.2013, 17:25 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
TehNick в сообщении #729527 писал(а):
Думаю теперь правильно.
Да, почти...
TehNick в сообщении #729527 писал(а):
$G = F \cup \{Y\subseteq \mathbb Q^+|\{0\}\in Y\}$.
Во-первых, не $\{0\}\in Y$, а $0\in Y$ (или, если угодно, $\{0\}\subseteq Y$). Во-вторых, не $Y\subseteq\mathbb Q^+$, а $Y\subseteq I$, т.е. $Y\subseteq\mathbb Q^+\cup\{0\}$. Ну а в-третьих, добавление $F$ тут излишне, так как любое множество, принадлежащее $F$, содержит $0$. Таким образом, $G=\{Y\subseteq I:0\in Y\}$. Кстати, после этого замечания дальнейшие выкладки упрощаются. Например, тот факт, что для любого множества $X\subseteq I$ либо само $X$, либо его дополнение принадлежит $G$, становится тривиальным, так как $0$ принадлежит либо самому множеству $X$ (и тогда $X$ принадлежит $G$), либо его дополнению (и тогда дополнение $X$ принадлежит $G$).

Но это всё технические огрехи. Суть Вы ухватили. Поздравляю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фильтр, главный фильтр, ультрафильтр
Сообщение28.05.2013, 17:43 


28/12/12
12
Огромное Спасибо за помощь!!!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group