Оптимизационные задачи планиметрии

[eugrita]

Интересные вы сведения приводите, альтернансы... средние линии.
Не очень пока вас понял. Придется посмотреть, что такое альтернанс. Но
разговоры по поводу критерия суммы квадратов отклонений явно выходят за рамки этой темы. Приглашаю вас сюда:
http://dxdy.ru/post726520.html#p726520

[ewert]

Прямая, оптимальная в смысле максимума отклонений, является средней линией одного из треугольников с вершинами в данных точках. Достаточно перебрать все треугольники, все их средние линии и выбрать из них наилучшую.

Если все иксовые координаты точек различны, то оптимальная прямая единственна. В противном случае решений может оказаться бесконечно много, но среди них, во всяком случае, какая-нибудь средняя линия присутствует.

Оптимизация этого перебора -- отдельный и уже чисто алгоритмический вопрос. В частности, проверка на "альтернансность" позволяет сразу же отсеять для каждого треугольника две средние линии и оставить на подозрении лишь одну -- ту, для которой знаки отклонений в вершинах чередуются (+-+ или -+-, ни никак не ++-, --+, +-- или -++).

В общем случае, когда набор точек аппроксимируется не линейной функцией, а многочленом степени $m$, критерий (в случае различных иксов, конечно) выглядит так. Многочлен оптимален в смысле максимума отклонений тогда и только тогда, когда среди всех точек можно выделить поднабор из $(m+2)$ точек, отклонения которых от графика многочлена одинаковы по модулю, имеют чередующиеся знаки и не меньше, чем отклонения для всех остальных точек. Под альтернансом понимался именно этот поднабор.

[eugrita]

Наконец я вас начал понимать. Если скажем максимум расстояний от искомой прямой достигается для точки i и равно $h_i$ а расстояние до соседней $(i+1)$ точки $h_{i+1}<h_i$ то чуть подвинув прямую в сторону середины отрезка соединяющего эти 2 точки вы уменьшите расстояние.
Но вы очевидно имеете ввиду расстояние от экспер точек до прямой в геометрич смысле т.е в направлении нормали. а в формуле выше расстояние измеряется вдоль оси y . Как с этим быть?
2)и по-видимому вообще такой критерий $\min \max h_i$
будет крайне чувствителен к какой-нибудь одной точке. Удали одну чуть выскакивающую точку и линия довольно сильно может повернуться.
Наверное он тогда не может быть полноценным статистическим критерием из-за этого.

[ewert]

eugrita в сообщении #726722 писал(а):

Но вы очевидно имеете ввиду расстояние от экспер точек до прямой в геометрич смысле т.е в направлении нормали. а в формуле выше расстояние измеряется вдоль оси y

Нет, именно по вертикалям. Впрочем, для расстояний по нормалям оптимальными тоже будут средние линии, разница лишь в единственности. В случае расстояний по вертикали решение или единственно, или их бесконечное количество, в случае же нормальных расстояний наоборот: количество решение не может быть бесконечным, но зато этих решений может быть несколько.