Линейное уравнение в частных производных первого порядка.

[Morkonwen]

Здравствуйте! Имеется уравнение вида $\sum_{i}g_i(x) \frac{\delta F(x)}{\delta x^i}=0$, где $g_i(x)=a_i+\sum_j b_{ij} x^j+\sum_{jk}c_{ijk} x^j x^k$, тут $ a_i, b_{ij} ,c_{ijk}$ - известные константы

Необходимо найти хоть один интеграл F(x), хотя бы приближенно. Метод характеристик не работает. Разложение в ряд Тейлора в окрестности нуля до первого порядка слишком грубое, получить более высокий порядок очень трудно, поскольку переменных 7.

Буду рад любой даже туманной мысли. Спасибо!

[Oleg Zubelevich]

интегрируйте численно систему уравнений характеристик, в окрестностях неособых точек векторного поля $g_i$ первые интегралы заведомо существуют

[Vince Diesel]

Можно попробовать решать систему характеристик итерационно: в начале поставить в правые части начальные значения $(C_1,\ldots,C_7)$. Получатся решения $x_i^1$, линейно зависящие от $t$. Затем решить систему

$$ x_i^2'(t)=g_i(x_1^1(t),\ldots,x_7^1(t)) $$

с теми же начальными значениями и т.д. На компьютере это делается легко. Вопрос, конечно, будет ли сходимость к решению. Можно попробовать сначала проверить для одного уравнения с одной переменной.

[Morkonwen]

Спасибо! Правда, уравнение в частных производных и составлено то, чтобы не решать систему( для характеристик), но видимо, это никак не проще =(