Можно ли так вычислять сумму ряда?

[ewert]

Где тут перестановки-то? Это просто теорема о том, что предел суммы равен сумме пределов.

[Legioner93]

Хорошо, может быть это и так правильно называется. Под перестановками я подразумевал законность перехода от $(a_1 + a_2 + a_3 + \cdots) + (b_1 + b_2 + b_3 + \cdots)$ к $(a_1+b_1) + (a_2 + b_2) + (a_3 + b_3) + \cdots$
В случае конечного числа слагаемых это очевидно, но не в случае бесконечного. А иногда это вообще не верно, тут надо смотреть на сходимость.

И ваша теорема

ewert в сообщении #721937 писал(а):

о том, что предел суммы равен сумме пределов.

тоже не верна без соответствующей добавки о существовании. Это если уж вы решили так скрупулёзно обосновывать.

[EtCetera]

Legioner93, без дополнительных телодвижений такого рода здесь можно обойтись:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n-1}{2^n}=\left.\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)^{2n-1}\right)'\right|_{x=1}=\left.\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\frac{x}{\sqrt{2}}}{1-\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)^2}\right)'\right|_{x=1}=$$

$$=\left.\left(\frac{x}{2-x^2}\right)'\right|_{x=1}=\left.\frac{2+x^2}{\left(2-x^2\right)^2}\right|_{x=1}=3$$