Аналог передаточной функции или как оценить амплитуду дифура

[poleya]

Добрый день!

Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравнение.
Начальные условий нулевые. Сделаем преобразование Лапласа.
Разделим изображение решения дифура на изображение правой части исходного линейного дифура. Получим передаточную функцию, которая говорит во сколько раз амплитуда выходного сигнала превышает амплитуду входного гармонического сигнала.

Теперь о задаче:
1) начальные условия ненулевые
2) правая часть уравнения гармоническая функция $A \sin \omega t$
3) решили дифур - решение нашли (к примеру, в начале в изображениях, потом перешли к оригиналам)

Вопрос: как определить амплитуду полученного решения дифура?
(или диапазон в котором изменяется полученного решение-мин-макс)

С уважением.
Андрей.

[profrotter]

poleya в сообщении #721033 писал(а):

Получим передаточную функцию, которая говорит во сколько раз амплитуда выходного сигнала превышает амплитуду входного гармонического сигнала.

Это неверно.

poleya в сообщении #721033 писал(а):

как определить амплитуду полученного решения дифура?

А никак, поскольку полученное решение будет представлять собою суперпозицию затухающего (в случае устойчивости системы, для которой записано дифференциальное уравнение) и периодического процессов. Можно говорить о ассимптотическом стационарном режиме, в котором решение будет гармоническим и тогда уже говорить и о амплитуде колебания.

В общем непонятно какой вопрос Вы хотите задать.

[poleya]

Благодарю за ответ.

profrotter в сообщении #721040 писал(а):

poleya в сообщении #721033 писал(а):

Получим передаточную функцию, которая говорит во сколько раз амплитуда выходного сигнала превышает амплитуду входного гармонического сигнала.

Это неверно.

В общем случае да.

poleya в сообщении #721033 писал(а):

как определить амплитуду полученного решения дифура?

А никак, поскольку полученное решение будет представлять собою суперпозицию затухающего (в случае устойчивости системы, для которой записано дифференциальное уравнение) и периодического процессов. Можно говорить о ассимптотическом стационарном режиме, в котором решение будет гармоническим и тогда уже говорить и о амплитуде колебания.

В общем непонятно какой вопрос Вы хотите задать.

Бывает. Зайду с другой стороны. Что нужно оценить? Пусть решение дифура носит периодический характер (если есть экспоненты, то пусть они все затухают). Рассматриваем только периодическую составляющую(установившуюся и ограниченную), она состоит из синусов и косинусов частоты входного сигнала и собственных частот плюс некоторая константа. Коэффициенты при гармониках зависят от параметров(частоты входного сигнала и собственных частот). В итоге решение представляет собою функцию, зажатую между двумя горизонтальными прямыми. Нужно знать точный максимум и минимум как функцию входной частоты.

я график могу выслать для наглядности. Только картинки сюда не крепятся вроде как.

С уважением.
Андрей.

[profrotter]

В установившемся режиме процесс описывается частным решением исходного неоднородного диф. уравнения. Можно поискать его в виде $y(t)=Ycos(\omega t+\varphi)$, откуда и определится взаимосвязь между коэффициентами диф. уравнения и параметрами сигналов на входе и выходе.