2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Определение Непрерывности
Сообщение13.01.2006, 01:41 
Аватара пользователя


29/12/05
228
Привет!
Я довольно потерян при виде вот этой задачи:

Пусть $f:{\mathbb{R}}^n\longrightarrow{\mathbb{R}}^m$
Доказать, что f тогда и только тогда непрерывно, если для всех $M\subset{\mathbb{R}}^n$ имеет место включение $f(closM)\subseteq{clos{}f(M)}$ ($clos{}M обозначает замыкание множества М)

Я до сих пор бьюсь с такими понятиями как открытое множество, замкнутое множество, компакты, т.е. не над самими понятиями (они мне более менее только сейчас становятся понятными и привычными), а над их применениями в доказательствах. Насколько я знаю, это тематика общей топологии. Не знаю, как вы считаете, нормально ли вести курс анализа в первом семестре почти полностью на языке общей топологии, т.е. обобщая весь анализ и прибегая всюду к высокого уровня абстрактности, которая всем моим однокурсникам, не только мне, кажется излишней?

Может задача и проста. Однако немного пораздумав, я решил решить её под вашим руководством, уж слишком много пунктов на неё, которые из-за неправильных рассуждений можно потерять.
Я хотел бы, чтобы вы задали мне по ходу дела наводящие вопросы, т.е. прошу не решать её за меня.
...Но первый вопрос за мной. :D Задача называется "Альтернативное Определение Непрерывности"...С каких это пор в математике доказываются определения??? :? (...и действительно, например у Архипова и Садовничего в их Лекциях по Матану нашёл почти тоже самое как определение...и конечно без доказательства)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.01.2006, 02:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Вы можете иногда дать несколько определений одного и того же понятия, если существует теорема об их эквивалентности. Пример - определение предела функции в точке на языке $\varepsilon$ - $\delta$ и на языке последовательностей. Вы можете принять любое из них как определение, и доказывать второе как теорему. Поскольку это один и тот же объект, после доказательства эквивалентности все равно, каким из определений пользоваться.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.01.2006, 16:47 


15/12/05
7
я советую почитать книгу Рид и Саймона: современные методы в мат.физике. Там подробно рассматриваются понятия непрерывности с разных точек зрения. Также вводится понятие направленности, обобщённое понятие последовательности, очень полезно не.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.01.2006, 18:34 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
Напишите определение непрерывности, которое было у вас в курсе.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.01.2006, 10:07 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Вообще настоятельно рекомендую читать книгу Колмогорова, Фомина "Элементы теории функций и функционального анализа". Там как раз указанный круг тем освящен достаточно широко и на хорошем математическом уровне. Интересующие вопросы по различным определениям и их эквивалентности советую в первую очередь искать там.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.01.2006, 21:14 
Аватара пользователя


29/12/05
228
Главное определение, которым мы пользуемся, следующее:
Отображение f:X\longrightarrow{Y} называется непрерывным, если для всех \epsilon>0 существует \delta>0 такое что для всех x\in{X}, таких что d_X(x,x_0)<\delta, выполняется неравенство: d_Y(f(x),f(x_0))<\epsilon

Я не понимаю, как это определение формально согласовать с замыканием множеств X или Y.

Я забыл сказать про подсказку:
"Использовать замыкание множества всех членов определённых подпоследованностей и его отображение под f, чтобы прийти к противоречию." ...меня она что-то совсем с толку сбила.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.01.2006, 22:53 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Я дам наводку на решение задачи, чтобы Вам было над чем подумать самому.

Будем доказывать в одну сторону. Пусть $f([M])\subseteq [f(M)]$ (будем обозначать замыкание множества M через [M]). Хотим доказать непрерывность f в некоторой точке $x_0$. Предположим противное, т.е. непрерывности нет. Отсюда следует (это аккуратно докажите самостоятельно), что существует такое число $\varepsilon>0$ и такая последовательность $x_n\to x_0$, что все точки $f(x_n)$ отстоят от $f(x_0)$ больше, чем на $\varepsilon$.

Теперь возьмите в качестве множества M последовательность $\{x_n\}$ и получите противоречие тому, что мы предполагали.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.01.2006, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Бабай писал(а):
Я не понимаю, как это определение формально согласовать с замыканием множеств X или Y.

Я забыл сказать про подсказку:
"Использовать замыкание множества всех членов определённых подпоследованностей и его отображение под f, чтобы прийти к противоречию." ...меня она что-то совсем с толку сбила.


Используйте предел последовательности. Точка $x_0\in X$ принадлежит замыканию множества $M\subseteq X$ тогда и только тогда, когда существует такая последовательность точек $x_n\in M$, $n\in\mathbb N$, что $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group