2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите определить условие
Сообщение05.05.2013, 02:06 


05/05/12
3
Всем привет. Есть небольшой вопрос к знатокам вариационного исчисления. Необходимо найти экстремум функционала $\int_{0}^{1}(y''^2+3y)dx+y'(0)$ при условиях $y(0)=0,y'(1)+y(1)=0.$ Я варьирую функционал, получается 3 доп. естественных условия, 1 для нуля ($2y''(0)+1=0$) и два для единички ($y''(1)=0$ и $y'''(1)=0$). В единице есть одно основное условие, какое из этих двух естественных надо выбирать? Заранее большое спасибо за помощь

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение05.05.2013, 08:42 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5728
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не дооформлены $\TeX$ом

Наберите все формулы $\TeX$ом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение05.05.2013, 10:50 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите определить условие
Сообщение05.05.2013, 19:56 
Аватара пользователя


09/08/11
137
СПб
Вы не приводите подробностей своих вычислений, поэтому сложно сказать в какой мере ваша ошибка техническая, а в какой - принципиальная.
Стандартная последовательность шагов такая:
1. Представляете функцию $y(x)$ в виде $y(x)=y_0(x)+\delta y(x)$, где $y_0$ - (искомое) стационарное значение $y(x)$, а $\delta y(x)$ - его малая вариация.
При этом граничные условия $y(0)=0,\; y'(1)+y(1)=0$ приводят к условиям на $y_0$ и $\delta y$:
$$y_0(0)=0,\; y'_0(1)+y_0(1)=0,\quad\delta y(0)=0,\; \delta y'(1)+\delta y(1)=0.$$
2. Находим первую вариацию функционала $\delta F=\int_0^1\left(2y''\delta y''+3\delta y\right)dx+\delta y'(0)$.
3. Выполняя интегрирования по частям (в данном случае - 2 раза) представляем $\delta F$ в виде суммы вкладов двух типов:
а) интегрального члена, с подынтегральным выражением линейным по $\delta y(x)$ (и не содержащем его производных).
б) внеинтегральных членов, зависящих от $\delta y$, $\delta y'$, $\delta y'',\dots$ на границах области интегрирования.
В данном случае:
$$\delta F=2\left. y_0''\delta y'\right|_0^1-2\left. y_0'''\delta y\right|_0^1+\int_0^1 \left(2y_0''''(x) +3\right)\delta y(x) dx +\delta y'(0).$$ Учитывая граничные условия $\delta y(0)=0$, $\delta y'(1)+\delta y(1)=0$ получаем
$$\delta F=-2(y_0'''(1)+y_0''(1))\delta y(1)+(-2y_0''(0)+1)\delta y'(0)+\int_0^1 \left(2y_0''''(x) +3\right)\delta y(x) dx$$
4. Условие стационарности $\delta F=0$ с учетом произвольности $\delta y(x)$ при $x\in(0;1)$ в интегральном члене дает на $y_0$ дифференциальное уравнение четвертого порядка
$$y_0''''(x) +3=0,$$ а учет произвольности $\delta y'(0)$ и $\delta y(1)$ во внеинтегральных членах дает два (а не три, как вы пишете) дополнительных граничных условия $$-2y_0''(0)+1=0,\; y_0'''(1)+y_0''(1)=0,$$ которые вместе с исходными граничными условиями $$y_0(0)=0,\; y'_0(1)+y_0(1)=0$$ позволяют однозначно найти стационарное решение $y_0(x)$.

Ваше уравнение $2y_0''(0)+1=0$ похоже на $-2y_0''(0)+1=0$, так, что тут, наверное, у вас (или у меня :-)) техническая ошибка.
А вот два других ваших граничных условия $y_0''(1)=0$, $y_0'''(1)=0$ это принципиально другое, чем одно мое $y_0'''(1)+y_0''(1)=0$ - тут у нас с вами идеологические расхождения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group