Интересное свойство темной материи

[Lexey]

Известно что для объяснения наблюдаемого вращения галактик, необходимо чтобы распределение плотности массы было примерно пропорционально $1/r^2$
Этот закон распределения имеет свойство симметрии относительно изменения размерности пространства. объемное сферически-симметричное распределение $1/r^2$ дает ту же самую величину $a(r)=GM(r)/r^2=\operatorname{const}/r$ что и распределение $1/r^{n-1}$ в n-мерном пространстве. Тут $M(r)$-интегральная масса заключенная внутри n-мерной сферы радиуса $r$.
этот вывод получается из рассмотрения cлучаев с $n=0,1,2,3$, хотя интерпретация случаев $n=0,1$ выглядит весьма эксцентрично. Возникает подозрение что этот вывод можно распространить произвольное значение n, и это может подтолкнуть кого-то к интересным идеям объяснения проблемы темной материи. Или я где-то туплю?

[Munin]

А я почему-то думал, что для кривых вращения галактик нужно сферически-симметричное распределение массы примерно $\mathrm{const}.$

[Lexey]

Munin в сообщении #713851 писал(а):

А я почему-то думал, что для кривых вращения галактик нужно сферически-симметричное распределение массы примерно $\mathrm{const}.$

Линейная плотность, которую осталось проинтегрировать только по $r$ получается $\mathrm{const}.$
При этом не имеет значения, сосредоточена эта масса в диске галактики или в сферическом гало.
Можно заподозрить что она распределена сферически-симметрично в пространстве размерностью больше 3, поэтому и ненаблюдаема.
Xотя мне самому не нравятся эти фантазии со скрытыми размерностями.

[Munin]

Ничего не понял. Вы можете более чётко изъясняться? А то у вас даже запятых не расставлено.

[VladTK]

Munin в сообщении #713918 писал(а):

Ничего не понял. Вы можете более чётко изъясняться? А то у вас даже запятых не расставлено.

Munin, Вы никогда не считали сферически симметричное распределение плотности для того чтобы скорость периферии галактик была $\operatorname{const}$ ?

[Munin]

Охоспади, тут что, конкурс на невнятное изложение своих мыслей?
Что я должен был посчитать? $\mathrm{const}$ по каким параметрам?

[VladTK]

По радиусу, Munin, по радиусу. Тут же все элементарно.

Пусть звезда на периферии движется по круговой орбите

$$ \frac{m v^2}{r}=m \frac{d \varphi}{dr} $$

Отсюда производная потенциала

$$ \frac{d \varphi}{dr} = \frac{v^2}{r} $$

Предполагая скорость звезды постоянной $v=v_0$ из уравнения Пуассона

$$ \Delta \varphi = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left ( r^2 \frac{d \varphi}{dr} \right )= 4 \pi G \rho $$

находим плотность

$$ \rho = \frac{v_0^2}{4 \pi G r^2} $$

Масса, заключенная внутри сферы радиуса $r$ равна

$$ M(r)= \int \rho dV = \frac{v_0^2}{G} r $$

[epros]

VladTK в сообщении #714412 писал(а):

Предполагая скорость звезды постоянной $v=v_0$ из уравнения Пуассона

$$ \Delta \varphi = \frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left ( r^2 \frac{d \varphi}{dr} \right )= 4 \pi G \rho $$

Наверное я туплю... Объясните мне пожалуйста: У Вас сферически симметричная галактика или всё же там что-то вращается?

[Lexey]

epros в сообщении #714452 писал(а):

Наверное я туплю... Объясните мне пожалуйста: У Вас сферически симметричная галактика или всё же там что-то вращается?

Галактика то свиду дисковая, но в ней доминирует темная материя которую не видно, о которой только догадываются судя по вращению видимого диска. Толи наша общепринятая теория гравитации лажает, толи материя прячется непонятным образом.

[Munin]

VladTK
Спасибо, въехал. Я был неправ:

Munin в сообщении #713851 писал(а):

А я почему-то думал, что для кривых вращения галактик нужно сферически-симметричное распределение массы примерно $\mathrm{const}.$

Теперь сориентировался.

Lexey
Из выкладок VladTK легко заметить, что оба свойства (зависимость скорости от радиуса и плотности от радиуса) опираются на одну и ту же производную, так что их связь естественна.

epros
Всё вращение в post714412.html#p714412 в первой формуле, дальше оно уже рассмотрено и не нужно. А сферически-симметричное в галактике - распределение тёмной материи (вообще, любого гало).

[epros]

Munin в сообщении #714622 писал(а):

Всё вращение в post714412.html#p714412 в первой формуле, дальше оно уже рассмотрено и не нужно. А сферически-симметричное в галактике - распределение тёмной материи (вообще, любого гало).

Ok, я понял. А что не так с распределением плотности тёмной материи по $\frac{1}{r^2}$?

[Lexey]

epros в сообщении #714668 писал(а):

Ok, я понял. А что не так с распределением плотности тёмной материи по ?

Именно при таком распределении невозможно по наблюдаемому вращению отличить сферическое распределение от дискового. эффект будет тот же самый.

А у меня тут еще мысли: если гравитационное поле имеет собственную гравитирующую массу пропорциональную квадрату напряженности (как в электромагнитном), то тоже получится именно такое распределение. Я тут подобрал гидростатическую модель гравитации для этого случая и все вроде бы сходится.
$g \cdot \operatorname {div}(g) - \Delta g=0 $
$-\operatorname {div}(g) - k g^2=m $
Для сферически симметричного случая получается:
$p \sqrt{\frac{p-m}{k}}+\operatorname{grad}(p)=0$
где $p=-\operatorname{div}(g)$ - полная гравитирующая плотность массы (она же - гидростатическое давление)
$g=-\sqrt{\frac{p-m}{k}}$ - ускорение (напряженность гравитационного поля)
$m$ - плотность обычной массы
$k$ - константа гравитации (вероятно что-то типа $1/2\pi G$)

Решаю численно в маткаде - картинка вполне правдоподобная.
Можно дальше попробовать расширить систему для динамики.

[Munin]

epros в сообщении #714668 писал(а):

А что не так с распределением плотности тёмной материи по $\frac{1}{r^2}$?

По-моему, всё так. Просто у меня были другие воспоминания, более неправильные.

[VladTK]

Lexey в сообщении #714705 писал(а):

...А у меня тут еще мысли: если гравитационное поле имеет собственную гравитирующую массу пропорциональную квадрату напряженности (как в электромагнитном), то тоже получится именно такое распределение. Я тут подобрал гидростатическую модель гравитации для этого случая и все вроде бы сходится.
$g \cdot \operatorname {div}(g) - \Delta g=0 $
$-\operatorname {div}(g) - k g^2=m $
Для сферически симметричного случая получается:
$p \sqrt{\frac{p-m}{k}}+\operatorname{grad}(p)=0$
где $p=-\operatorname{div}(g)$ - полная гравитирующая плотность массы (она же - гидростатическое давление)
$g=-\sqrt{\frac{p-m}{k}}$ - ускорение (напряженность гравитационного поля)
$m$ - плотность обычной массы
$k$ - константа гравитации (вероятно что-то типа $1/2\pi G$)

Решаю численно в маткаде - картинка вполне правдоподобная.
Можно дальше попробовать расширить систему для динамики.

Плотность энергии (а следовательно и массы) Ньютоновского гравитационного поля известна

$$ w=\frac{g^2}{8 \pi G} $$

Попробуйте прикинуть соотношение средних плотностей барионной массы галактики и гравитационного поля. Думаю все сразу станет очевидно.

[epros]

Кстати, по-моему очевидной проблемой этой модели (согласно которой видимое вещество спиральной галактики движется под действием тяготения сферически симметричной тёмной материи) является необъяснимость того факта, что видимое вещество собралось в галактическую плоскость.