теорема Ферма при n =3

[aleks-30-03]

Доказательство теоремы Ферма для n=3.
Пусть корнями уравнения $X^3 + Y^3 = Z^3$ являются числа a, b, c, причём
0<b<c<a, предположим, что b и а натуральные, осталось выяснить будет ли c натуральным.
Тогда
$b^3+c^3=a^3$
или
$c^3=a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
Пусть если
$a-b=d$, где $d>1$,
тогда

$a^2+ab+b^2=d^{3k+2}$ где k целое неотрицательное число,
тогда
$c^3=dd^{3k+2}$
тогда
$c=\sqrt[3]{dd^{3k+2}}=d^k\sqrt[3]{dd^2}$
Чтобы c было натуральным достаточно, чтобы $\sqrt[3]{dd^2}$ был натуральным.
Тогда
$a=b+d$
$d^2+2bd+b^2+bd+b^2+b^2=d^2$,
или
$3bd+3b^2=0$.
А сумма произведений натуральных чисел не может быть равно 0. оно может быть равно 0 при $b=0$ или
$d=0$, но тогда $a-b=0$ или $c=0$, а 0 не натуральное число.
Пришли к противоречию, значит
$\sqrt[3]{dd^2}$
не будет натуральным, а значит и c не будет натуральным.

Предположим, что
$a - b = 1$,
Тогда b и a последовательные натуральные числа, а
c между ними, значит оно не натуральное.

Предположим, что
$b=c$
тогда
$a^3=b^3+b^3=2b^3$
$a=\sqrt[3]{2}$
то есть $a$ не натуральное число.

Пусть
$a=b$
Тогда
$c^3=a^3-a^3=0$,
а 0 не натуральное число.

Пусть
$c=a$
тогда
$b=0$
а 0 не натуральное число.

Рассмотрены все случаи, значит уравнение
$X^3 + Y^3 = Z^3$
не имеет корней в натуральных числах.

Теорема Ферма для $n=3$
доказана.



Учитель математики Щеглов Алексей Михайлович.

[nnosipov]

Наберите Ваш текст в $\TeX$ --- формулы нечитабельны.

[AKM]

Тема перемещена из форума «Великая теорема Ферма» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам: не оформлены формулы.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.