Схема переменных направлений(конечно-разностный метод)

[nihi]

Всем доброго времени суток! В инсте задали вот такую "несложную" задачу -
передо мной ур-е диффузии в координатах Лапласа (сначала рассматриваю ур-е на плоскости, z- толщину не беру )

$\dfrac{dC_b}{dt}=D_b(\dfrac{1}{r}\dfrac{dC_b}{dr}+\dfrac{d^2C_b}{dr^2}+\dfrac{1}{r^2}\dfrac{d^2C_b}{d\varphi^2})$

где нач. условия

$$ C_b(0,r,\varphi)=\begin{cases} C_0+C_0\sin\varphi\\ 0,& r_0\leqslant r \leqslant r_1+h\\ 0,& 0\leqslant r < r_0, r>r_1+h \end{cases} $$

(Имхо в нач условиях имеется ввиду $\tau=0$ в $C_b(\tau,r,\varphi)$

и граничные условия

$\dfrac{dC_b}{dr}\bigr|_{r=0}=0, C_b\bigr|_{r=r_1+h}=C^* $
где r-радиус определяющий изменение концентрации $C_b$ от $r_0$ до $r_1+h$ $D_b$ - коэф диффузии металла b $\varphi$ - угол, связанный с периодом синусоиды.
К этому ур-ю я применяю схему переменных направлений или как её еще называют продольно-поперечную вычислительную схему, суть в том что шаг по времени $\Delta\tau$ делится на два полушага получается вот что, используя конечно-разностную аппроксимацию

$\dfrac{C_{i,j}^{n+1/2}-C_{i,j}^n}{\Delta\tau/2}=\dfrac{D_b}{(r_1+h)^2}(\dfrac{C_{i-1,j}^{n+1/2}-2C_{i,j}^{n+1/2}+C_{i+1,j}^{n+1/2}}{\Delta\rho^2}+\dfrac{1}{\rho}\dfrac{C_{i+1,j}^{n+1/2}-C_{i-1,j}^{n+1/2}}{2\Delta\rho}+\dfrac{1}{\rho^2}\dfrac{C_{i,j-1}^n-C_{i,j}^n+C_{i,j+1}^n}{\Delta\varphi^2})$
сначала хочу численно решить ур-е диффузии затем уже моделировать, идей в голове куча пока только численно решаю хотелось бы спросить у Гуру ЧМ или ВЫЧ МАТ как мне найти концентрацию в соответствии с граничными условиями это нужно для моделирования вот такого ур-я методом явной разностной схемы $\dfrac{C_{i,j}^{n+1/2}-C_{i,j}^n}{\Delta\tau/2} = \dfrac{D_b}{(r_1+h)^2}\dfrac{(C_{i,j-1}^n-2C_{i,j}^n+C_{i,j+1}^n)}{\Delta\varphi^2}$

Для моделирования мне нужно знать $C_{1,j}^{n+1/2}, C_{Nx,j}^{n+1/2}, C_{i,1}^{n+1/2}, C_{i,Ny}^{n+1/2}$
по оси $x$: $i=1,2,3..Nx$
по оси $y$: $j=1,2,3..Ny$
по оси $t$: $\tau=0,1,2..Tk$ - конечное время

мб какуюнить лит-ру где рассматриваются решение диф ур ч.п с гран. усл-ми 2го рода кто подскажет, а мб ктонить и объяснит как найти эти значения ((


Буду признателен всем за Ваши идеи.