2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Параметр.
Сообщение16.03.2013, 14:01 


23/09/12
180
Не получается разобраться с такой задачей.

При каких значениях параметра $a$ уравнение имеет единственное решение?

$\dfrac{x^2+1}{x}\log_a^4x+\dfrac{119-34a}{a}\log_a^2x+\cos\left(\dfrac{\pi\cdot a}{2}\right)\cdot \sqrt{4-a}=0$

ОДЗ: $x>0\;\;\;\;\;a\in(0;1)\cup(1;4]$

График какой-то очень некрасивый. С чего начать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметр.
Сообщение16.03.2013, 14:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Вначале можно откинуть значения параметра, при которых вообще нет корней, так как левая часть положительна на положительной полуоси.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметр.
Сообщение16.03.2013, 14:20 


23/09/12
180
gris в сообщении #696560 писал(а):
Вначале можно откинуть значения параметра, при которых вообще нет корней, так как левая часть положительна на положительной полуоси.

Ок, откинул. При $a\in (0;1)$ левая часть положительна, значит эти значения параметра можно выкинуть, но вот что дальше?

-- 16.03.2013, 14:28 --

$(3;3,5)$ тоже не подходит, остается рассмотреть $(1;3)\cup (3,5;4]$

Заметим, что $-2\leqslant \cos\left(\dfrac{\pi\cdot a}{2}\right)\cdot \sqrt{4-a}\leqslant 2$. Моэет это тоже пригодится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметр.
Сообщение16.03.2013, 14:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Посмотрите на первые два слагаемых левой части. При $a\in(1,3)$ их сумма неотрицательна и имеем минимум, равный нулю, в единице. Третье слагаемое, перенесённое в левую часть так же неотрицательно. То есть как бы получается 2 корня. Ну постороже посмотрите.
Смотрим при $a=3$. Вот оно!
А что потом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметр.
Сообщение16.03.2013, 14:50 


23/09/12
180
gris в сообщении #696570 писал(а):
Посмотрите на первые два слагаемых левой части. При $a\in(1,3)$ их сумма неотрицательна и имеем минимум, равный нулю, в единице.

А как вы узнали? Как можно строже?

-- 16.03.2013, 14:56 --

А вот такая замена не пойдет? $\log_a^2x=t>0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметр.
Сообщение16.03.2013, 15:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
А чего там узнавать? Всё положительно, только логарифм может обратиться в ноль. Ну а дальше вблизи нуля функция (сумма двух слагаемых) почти бесконечна, на бесконечности бесконечна. Это при любом $a\in (1,3.5)$. Функция непрерывна, так что при любом положительном значении правой части имеем по крайней мере два корня. Один до единички, другой после. Один корень может быть толко тогда, когда правая часть равна нулю. То есть при $a=3$.
Осталось проанализировать, что там от трёх с половиной до четырёх. Правая часть положительна, а левая? В единице так и будет ноль, вблизи нуля вроде бы бесконечность? Я не могу ни на чём посчитать. Посмотрите, может быть там тоже ровно один корень.

Но это такое решение, на анализе поведения функции. Может быть есть более красивое и понятное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметр.
Сообщение16.03.2013, 15:12 


23/09/12
180
А как вы узнали, что именно два корня? Через производную?
Цитата:
Функция непрерывна, так что при любом положительном значении правой части имеем по крайней мере два корня. Один до единички, другой после.

 Профиль  
                  
 
 Re: Параметр.
Сообщение16.03.2013, 15:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Если непрерывная функция на одном краю интервала равна нулю, а на другом стремится к бесконечности, то любое положительное значение она внутри интервала хотя бы раз примет. Если она строго монотонна, то ровно один раз. Но нам достаточно, что не меньше одного. Два интервала — два корня. То есть больше одного заведомо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group