2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Студенческая олимпиада киевского мехмата 2013
Сообщение10.03.2013, 20:47 


29/08/11
1137
dm в сообщении #693504 писал(а):
7. An integer is called good if it is the $k$-th power of an integer for some $k\ge 2$. Is finite or infinite the set of all integers that are not sums of two good integers? (Andriy Bondarenko)

Не понимаю смысла этой задачи.. Ведь существует очень много чисел $a \ne b^2+c^2.$ А это уже по идеи означает, что множество натуральных чисел, которые не являются суммой двух хороших, бесконечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Студенческая олимпиада киевского мехмата 2013
Сообщение10.03.2013, 22:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Keter в сообщении #693819 писал(а):
Не понимаю смысла этой задачи.. Ведь существует очень много чисел $a \ne b^2+c^2.$ А это уже по идеи означает, что множество натуральных чисел, которые не являются суммой двух хороших, бесконечно

Сказано, $k\ge 2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Студенческая олимпиада киевского мехмата 2013
Сообщение10.03.2013, 23:05 


29/08/11
1137
xmaister, ну всё правильно. При k=2 суммой двух квадратов могут не быть бесконечно много чисел, так как ими не являются числа вида $4n+3.$ Этого достаточно, для того чтобы ответить на вопрос задачи infinite.

 Профиль  
                  
 
 Re: Студенческая олимпиада киевского мехмата 2013
Сообщение10.03.2013, 23:19 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Недостаточно, поскольку некоторые из этих чисел, например, $35$, можно выразить суммой двух кубов.
$7=2^3+(-1)^3$
$31=3^3+2^2$
$15 = 2^4+(-1)^3$
и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Студенческая олимпиада киевского мехмата 2013
Сообщение10.03.2013, 23:28 


29/08/11
1137
Cash, ну и? Подразумевается, что таких чисел крайне мало.

 Профиль  
                  
 
 Re: Студенческая олимпиада киевского мехмата 2013
Сообщение10.03.2013, 23:33 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Да,ладно...
Еще накидал...

-- Пн мар 11, 2013 00:38:26 --

Много чисел, не представимых в виде $a^2-b^3$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Студенческая олимпиада киевского мехмата 2013
Сообщение11.03.2013, 00:01 


29/08/11
1137
Cash, бесконечно.

-- 11.03.2013, 00:08 --

Cash в сообщении #693879 писал(а):
Недостаточно, поскольку некоторые из этих чисел, например, $35$, можно выразить суммой двух кубов.
$7=2^3+(-1)^3$
$31=3^3+2^2$
$15 = 2^4+(-1)^3$
и т.д.

Да, но все эти числа будут подмножеством бесконечного множества чисел $4n+3.$ И по мере увеличения $n$ их плотность вроде уменьшается. Значит, при их исключении бесконечное множество останется.

Конечно, Вы полностью правы. И я задумался как строго это доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Студенческая олимпиада киевского мехмата 2013
Сообщение11.03.2013, 07:44 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Cash в сообщении #693886 писал(а):
Много чисел, не представимых в виде $a^2-b^3$?
Вопрос, интересный сам по себе. Например, в таком виде нельзя представить любое число вида $-4c^2-1$, где целое $c$ не имеет простых делителей вида $4k+3$. Есть и другие подобные примеры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Студенческая олимпиада киевского мехмата 2013
Сообщение11.03.2013, 15:45 


29/08/11
1137
nnosipov, только сейчас заметил Ваше сообщение.
nnosipov в сообщении #693712 писал(а):
dm в сообщении #693504 писал(а):
7. An integer is called good if it is the $k$-th power of an integer for some $k\ge 2$. Is finite or infinite the set of all integers that are not sums of two good integers?
Суммой двух квадратов не представляется любое число вида $4n+3$. А различных сумм вида $a^k+b^l$, где $k>2$ или $l>2$, мало. Поэтому "infinite".

Я похоже рассуждал. Но всё таки, как строго доказать, что "различных сумм вида $a^k+b^l$, где $k>2$ или $l>2$, мало." Ведь на таких олимпиадах именно это и требуется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Студенческая олимпиада киевского мехмата 2013
Сообщение11.03.2013, 16:11 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Оценим сверху количество $k$-х степеней $>1$, которые не превосходят $N$. Имеем $N \geqslant a^k \geqslant 2^k$, откуда $k \leqslant \log{N}$ и $a \leqslant N^{1/k}$. Поэтому оценка сверху --- это величина порядка $N^{1/2}\log{N}$. Если же начинать не с квадратов, а с кубов, то --- $N^{1/3}\log{N}$. В итоге всевозможных сумм двух точных степеней, одновременно не являющихся квадратами, будет порядка $N^{1/2+1/3}\log^2{N}=o(N)$.

А вот что делать с разностью степеней, пока не понимаю. Я невнимательно прочитал условие задачи и думал, что речь идёт о натуральных числах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Студенческая олимпиада киевского мехмата 2013
Сообщение11.03.2013, 16:34 


29/08/11
1137
nnosipov, речь идёт о натуральных числах. Спрашивается: finite or infinite множество натуральных чисел, которые не являются суммой двух хороших?

-- 11.03.2013, 16:51 --

nnosipov в сообщении #694124 писал(а):
Я невнимательно прочитал условие задачи и думал, что речь идёт о натуральных числах.

Еще раз перечитал. Вы всё правильно поняли. Вот официальный источник: http://putnam.ho.ua/mechmat/2013/mm13sm.pdf
Там "...является степенью натурального..." и "...множество натуральных..."

 Профиль  
                  
 
 Re: Студенческая олимпиада киевского мехмата 2013
Сообщение11.03.2013, 17:27 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Keter, спасибо за оригинал, теперь всё прояснилось. Невозможные значения разности двух степеней натуральных чисел --- здесь даже один конкретный пример привести трудно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group