построить циркулем и линейкой

[mihatel]

На окружности заданы три точки. Построить (циркулем и линейкой) на этой окружности четвертую точку так, чтобы в полученный четырехугольник можно было вписать окружность.

Пробовал найти точку аналитически, и потом построить. Не получилось. Мне кажется, должно быть простое и красивое решение этой задачи. Очень хочется на него посмотреть!

[arseniiv]

В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Две длины есть, надо добавть к каждой из них такую другую, чтобы получились равные значения. Это возможно при разных положениях четвёртой точки. Посмотрите, какую кривую они задают. Надеюсь, её можно построить.

[gris]

Четырёхугольник можно описать около окружности, если суммы длин противоположных сторон равны. То есть равны разности соседних сторон (с учётом знака). Так как в треугольнике разность соседних сторон не больше третьей стороны, то задача имеет ровно три решения при любых трёх различных точках на окружности. То есть на любой из трёх дуг будет существовать одна точка, разность расстояний от которой до двух точек равна... ну и так далее. Нельзя это использовать?

Прочёл мысли arseniiv

[_Ivana]

Мне кажется, тут проще будет использовать само определение - биссектрисы (хватит трех) должны пересечься в одной точке.

[arseniiv]

У нас всего одна.

[ewert]

Она едина, но в трёх лицах. А это святое.

И какую из ипостасей этой Троицы ни возьми -- достаточно будет продолжить соответствующую биссектрису до пересечения с окружностью.

[iifat]

Геометрическое место точек -- гипербола. Фокусы в двух точках треугольника. Одна из веток проходит через третью точку. Нас интересует как раз другая ветка. Одно из пересечений её с окружностью -- точка, симметричная третьей относительно серединного перпендикуляра к фокусам. Но четырёхугольник получается самопересекающийся, и не очень понятно, как вписать в него окружность. Интереснее другая точка, вот только как её найти...
А что конкретно получилось аналитически?

[Батороев]

Сдается мне, что не любые три точки годятся для выполнения задания.
Т.к. по условию задачи все четыре точки лежат на окружности, то имеется равенство сумм противоположных углов четырехугольника.
При равенстве сумм длин противоположных сторон четырехугольника, как мне видится, должно соблюдаться равенство сумм центральных углов, опирающихся на эти противоположные стороны.
Наложив эти два требования, получаем, что две вершины четырехугольника должны лежать на диаметре первичной окружности, а две другие вершины должны быть симметричны этому диаметру (диагонали четырехугольника).

[iifat]

Во-первых, я таки напутал в предыдущем построении: нас как раз интересует та ветка гиперболы, которая проходит через третью точку.
Во-вторых, не вполне понял доказательство, но что-то ошибок в моём построении больше не вижу, а оно, как мне кажется, построит четвёртую точку (точнее, три четвёртых точки) для любого треугольника. Где-то здесь противоречие.

-- 09.03.2013, 20:19 --

Кстати говоря, если две точки лежат на диаметре, то именно указанная Батореев точка и будет построена.

[TOTAL]

Проверьте.
Точки на окружности: $A, B, C.$
Точка $K$ такая, что углы $KAB$ и $KCB$ равны $45$ градусов.
Центр окружности, описанной вокруг тр-ка $KAC,$ пересекается с биссектрисой угла $ABC$ в центре искомой вписанной окружности.
Окружность, описанная вокруг тр-ка $KAC,$ пересекается с биссектрисой угла $ABC$ в центре искомой вписанной окружности.

[iifat]

Мнэээ... Не понял. K -- четвёртая точка четырёхугольника? Нет, в описанном четырёхугольнике суммы противоположных углов 180 градусов, а тут 90. Тогда что это за точка? И что понимает благородный дон под пересечением "центра окружности... с биссектрисой угла"?

[TOTAL]

iifat в сообщении #693017 писал(а):

Тогда что это за точка?

Точка $K$ такая, что углы $KAB$ и $KCB$ равны $45$ градусов.
Точка $K$ такая, что сумма углов $KAB$ и $KCB$ равна $90$ градусов.

[iifat]

Контрпример: ABC -- прямоугольный треугольник с прямым углом B. Точки K не существует (за исключением равнобедренного прямоугольного треугольника, когда любая точка на AC может быть взята за K). Задача же в этих случаях имеет решения.

[TOTAL]

iifat в сообщении #693031 писал(а):

Точки K не существует

Существует.
Точка $K$ такая, что сумма углов $KAB$ и $KCB$ равна $90$ градусов.

[iifat]

Это что, другая точка, что ли? Уже не каждый угол по 45 градусов, а в сумме? На всякий случай: сумма углов четырёхугольника 360 градусов. Если угол B 90, два других в сумме 90, на четвёртый остаётся 180...