2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти наименьшее значение. Где лажа?
Сообщение06.03.2013, 01:13 


01/08/11
32
Помогите, пожалуйста, найти лажу.

Задача такая: Сумма положительных чисел $a,b,c$ в семь раз меньше их произведения. Найти наименьшее значение выражения $ab+bc+ac$.

Мое решение такое:

$\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{7} \Rightarrow \frac{1}{ab} + \frac{1}{ac} + \frac{1}{bc} = \frac{1}{7}.$
Далее,
$ab+bc+ac = ab+\frac{1}{ab}+ac+\frac{1}{ac}+bc+\frac{1}{bc}-\frac{1}{7} \geqslant 6-\frac{1}{7}.$
Последнее верно в силу неравенства Коши: $ab+\frac{1}{ab} \geqslant 2$. Решение,
очевидно, где-то неверно. (Правильный ответ --- 63). Подскажите, пожалуйста, где лажа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Где лажа?
Сообщение06.03.2013, 01:23 
Заслуженный участник


28/04/09
1933
Первый знак равно не верен. В условии значится "больше", а не "меньше".

 Профиль  
                  
 
 Re: Где лажа?
Сообщение06.03.2013, 01:33 


01/08/11
32
EtCetera в сообщении #691614 писал(а):
Первый знак равно не верен. В условии значится "больше", а не "меньше".


Прошу прощения, неправильно написал. В условии как раз "меньше".

 Профиль  
                  
 
 Re: Где лажа?
Сообщение06.03.2013, 04:32 


01/03/13
2502
Из $\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{7}$ выразить $a$. Подставить в $ab+ac+bc$, упростить. Взять две производные по $b$ и $c$, приравнять их нулю. Решить систему двух уравнений относительно $b$ и $c$. Профит :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Где лажа?
Сообщение06.03.2013, 04:48 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
Подозреваю, не всё выжато из отношения. К примеру, $ab+\frac1{ab}=2$ только при $ab=1$, но при этом отношение суммы к произведению никак не 1/7.
Может, составить уравнение $x^3-sx^2+tx-7s=0$ и проверить, при каких t оно имеет три действительных корня?

 Профиль  
                  
 
 Re: Где лажа?
Сообщение06.03.2013, 04:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
yestlmush в сообщении #691613 писал(а):
Подскажите, пожалуйста, где лажа?

Её по сути нет - действительно неравенство справедливо. А при каких $ a, b, c$ в использованных Вами неравенствах возможны равенства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Где лажа?
Сообщение06.03.2013, 05:13 


01/03/13
2502
Хм, если принять, что $a=b=c$, то $a=\sqrt{21}$ и $3a^2=63$ :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Где лажа?
Сообщение06.03.2013, 08:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9490
Москва
Лажа в использовании неравенства Коши, в доказательстве которого предполагается, что a и b мы выбираем произвольно. Но тогда они не будут удовлетворять условиям (то, что мы к целевой функции прибавили правую часть ограничения и отняли левую - не значит, что оно стало выполняться).

Нестрогое решение сходу:
Условие и целевая функция не меняются при перестановке a, b, c. Очевидно, решение достигается при $a=b=c$, то есть $3a=\frac {a^3} 7$ (тут, конечно, может быть ситуация, что экстремум достигается на границе - но граница недостижима, вот если бы в условии было "неотрицательных", то минимальное значение 0)
Далее очевидно, что ЦФ=63.

Решение через Лагранжа:
$\min (ab+ac+bc)$ при условии $7(a+b+c)=abc$
$L=(ab+ac+bc)+\lambda(7(a+b+c)-abc)$
Ищем производные и приравниваем к нулю.
$b+c+\lambda(7-bc)=0$
$a+c+\lambda(7-ac)=0$
$a+b+\lambda(7-ab)=0$
$7(a+b+c)-abc=0$
И опять выходим на $a=b=c$

 Профиль  
                  
 
 Re: Где лажа?
Сообщение06.03.2013, 18:16 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Да очевидно всё: применить неравенство между средним гармоническим и средним арифметическим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Где лажа?
Сообщение06.03.2013, 20:56 


26/05/11
29
Чтобы условие выполнялось, нужно масштабировать сначала.
Скажем, пусть $a=\sqrt{21}x,\ b=\sqrt{21}y,\ c=\sqrt{21}z$. Тогда $\frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} + \frac{1}{yz} = 3$.
Далее все точно так же: $ab+bc+ac=21\left( xy+xz+yz \right) = 21\left( xy+\frac{1}{xy} + xz + \frac{1}{xz} + yz + \frac{1}{yz} - 3 \right) \geqslant$ $ 21(6-3) = 63.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group