2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Проверить справедливость равенства
Сообщение05.03.2013, 13:22 
Аватара пользователя


05/01/13

3968
Вроде простейшая задачка из Сканави, но что-то я туплю. Вот моя попытка решения.

Нужно проверить справедливость равенства:

\eqno(1)\hspace{10pt} $\dfrac{25\sqrt[4]{2} + 2\sqrt{5}}{\sqrt{250} + 5\sqrt[4]{8}} - \sqrt{\dfrac{\sqrt{2}}{5} + \dfrac{5}{\sqrt{2}} + 2} = -1$

Обозначим буквами отдельные части выражения:

\eqno(2)\hspace{10pt} $\dfrac{A}{B} - C = -1$

Что равносильно:

\eqno(3)\hspace{10pt} $\dfrac{A - B \cdot C}{B} = -1$

Преобразуем отдельные части:

\eqno(4)\hspace{10pt} $A = 25\sqrt[4]{2} + 2\sqrt{5} = 23\sqrt[4]{2} + 2(\sqrt{5} + \sqrt[4]{2})$;

\parindent=0cm \eqno(5)\hspace{10pt} $B = \sqrt{250} + 5\sqrt[4]{8} = 5\sqrt{2}\sqrt{5} + 5\sqrt[4]{2^2}\sqrt[4]{2} = 5\sqrt{2}\sqrt{5} + 5\sqrt{2}\sqrt[4]{2} = \\ \\ = 5\sqrt{2}(\sqrt{5} + \sqrt[4]{2})$;

\parindent=0cm \eqno(6)\hspace{10pt} $C = \sqrt{\dfrac{\sqrt{2}}{5} + \dfrac{5}{\sqrt{2}} + 2} = \sqrt{\dfrac{2+25 + 10\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}} = \sqrt{\dfrac{27 + 10\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}} = \sqrt{\dfrac{27\sqrt{2} + 20}{10}} = \\ \\ = \dfrac{\sqrt{10}(27\sqrt{2} + 20)}{10}$;

\parindent=0cm \eqno(7)\hspace{10pt} $B \cdot C = \dfrac{5\sqrt{2}(\sqrt{5} + \sqrt[4]{2}) \cdot \sqrt{10}(27\sqrt{2} + 20)}{10} = \dfrac{5\sqrt{20}(\sqrt{5} + \sqrt[4]{2})(27\sqrt{2} + 20)}{10} = \\ \\ = \dfrac{10\sqrt{5}(\sqrt{5} + \sqrt[4]{2})(27\sqrt{2} + 20)}{10} = \sqrt{5}(\sqrt{5} + \sqrt[4]{2})(27\sqrt{2} + 20);$

\parindent=0cm \eqno(8)\hspace{10pt} $A-B \cdot C = 23\sqrt[4]{2} + 2(\sqrt{5} + \sqrt[4]{2}) - \sqrt{5}(\sqrt{5} + \sqrt[4]{2})(27\sqrt{2} + 20) = \\ \\ = 23\sqrt[4]{2} + (\sqrt{5} + \sqrt[4]{2})(2 - \sqrt{5}(27\sqrt{2} + 20)) = \\ \\ = 23\sqrt[4]{2} + (\sqrt{5} + \sqrt[4]{2})(2 - 27\sqrt{10} + 20\sqrt{5});$

\parindent=0cm \eqno(9)\hspace{10pt} $\dfrac{A-B \cdot C}{B} = \dfrac{23\sqrt[4]{2} + (\sqrt{5} + \sqrt[4]{2})(2 - 27\sqrt{10} + 20\sqrt{5})}{5\sqrt{2}(\sqrt{5} + \sqrt[4]{2})};$

На этом дело стопорится. Никак не понимаю, как из подобной штуки может получиться $(-1)$, и может ли получиться вообще. :) Выражение $(\sqrt{5} + \sqrt[4]{2})$ там явно неспроста, и в числителе, и в знаменателе. Но что с ним можно сделать — ума не приложу.

Одно из двух: либо я где-то ошибся (и почему-то никак не могу отловить ошибку), либо тут нужен какой-то хитрый фокус, которого я не знаю... (Как самый последний вариант — возможно, составители задачника что-то напутали. :))

Поскольку я всё это решаю чисто для себя, и никто от меня решения не требует, то я мог бы просто забить на непонятки и идти дальше. Но очень не хочется оставлять эту задачу, так и не разобравшись, в чём дело. Помогите, пожалуйста!

P.S. Задача из задачника переписана верно, я несколько раз проверил. Свою попытку решения тоже сейчас заново проверил, ошибок не нахожу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить справедливость равенства
Сообщение05.03.2013, 14:29 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
В (6) в самом конце потерялся один корень.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить справедливость равенства
Сообщение05.03.2013, 14:54 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Denis Russkih в сообщении #691406 писал(а):
\parindent=0cm \eqno(6)\hspace{10pt} $C = \sqrt{\dfrac{\sqrt{2}}{5} + \dfrac{5}{\sqrt{2}} + 2} = \sqrt{\dfrac{2+25 + 10\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}} = \sqrt{\dfrac{27 + 10\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}} = \sqrt{\dfrac{27\sqrt{2} + 20}{10}} = \\ \\ = \dfrac{\sqrt{10}(27\sqrt{2} + 20)}{10}$;

Последнее-то откуда?... Зато в самом начале этой цепочки оказался незамеченным очевидный полный квадрат в числителе.

Ну а после извлечения большого корня можно уже тупо приводить его и исходную первую дробь к общему знаменателю -- четыре слагаемых из шести вверху должны сократиться.

Да, техническая деталь: при последнем приведении к общему знаменателю выгоднее каждое решительно слагаемое переписать в виде $2^{{}^{...}}\cdot5^{{}^{...}}$, так меньше шансов ошибиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить справедливость равенства
Сообщение05.03.2013, 15:16 


03/06/12
2742
У вас уже $C$ посчитано неверно. Нужно так: $C=\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{5}+\frac{5}{\sqrt{2}}+2}=\sqrt{\frac{2+10\sqrt{2}+25}{5\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{2}+5}{\sqrt[4]{50}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить справедливость равенства
Сообщение05.03.2013, 17:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Вообще там явно проступают кубы пятёрки и двойки.
Иногда, чтобы не запутаться, полезно обозначить меньшие степени ингридиентов буквами. Например, $\sqrt 5 =a; \sqrt [4] 2 =b$.
Вся конструкция примет вид
$$\dfrac {a^4b+ab^4}{a^3b^2+a^2b^3}-\sqrt{\dfrac {b^2}{a^2}+\dfrac {a^2}{b^2}+2}$$
что проще чисто алгебраически упростить, особенно увидев под корнем формулу.

Кстати, добрейший Сканави мог бы употребить и числа побольше :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить справедливость равенства
Сообщение05.03.2013, 18:12 
Аватара пользователя


05/01/13

3968
Ну я и лопух! Огромное спасибо всем! :) Я, оказывается, допустил сразу два промаха: в одном месте потерял корень, а в другом — проглядел полный квадрат суммы. И после этого ещё удивляюсь, почему у меня ничего не сходится.

Вечная моя проблема, когда я берусь за математику: смотрю и в упор не замечаю очевидные вещи, как будто какой-то морок окутывает разум. Ведь несколько раз всё дотошно проверил, не на страх, а на совесть! Потом решил отложить до утра, утром прочёл ещё раз свежим взглядом. И всё равно, не помогло. Не видел ошибок, пока меня в них не ткнули носом.

Спасибо за комментарии и советы, постараюсь взять на вооружение. :) Хотя, похоже, я безнадёжен в математическом плане.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проверить справедливость равенства
Сообщение05.03.2013, 20:32 
Аватара пользователя


05/01/13

3968
Ура!!! Я всё-таки одолел эту задачку! :) Должен признаться, даже после всех подсказок я умудрился ещё пару раз завернуть не туда, и долго бесцельно плутал, по-разному группируя, складывая, перемножая, раскрывая скобки и вновь вынося за них общие множители, возвращаясь назад и перепроверяя решение, чувствуя нарастающее отчаяние... Это напоминало кошмарный сон... Задача прямо-таки заколдованная какая-то была. :) Но всё же я домучил решение! Что не под силу мозгу, с тем справится каменный зад!

Вот оно:

\parindent=0cm $C = \sqrt{\dfrac{\sqrt{2}}{5} + \dfrac{5}{\sqrt{2}} + 2} = \dfrac{\sqrt{(5+\sqrt{2})^2}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2}} = \dfrac{5+\sqrt{2}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2}}$;

\parindent=0cm $\dfrac{A}{B} - C = \dfrac{25\sqrt[4]{2} + 2\sqrt{5}}{\sqrt{250} + 5\sqrt[4]{8}} - \dfrac{5+\sqrt{2}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2}} = \dfrac{(25\sqrt[4]{2} + 2\sqrt{5}) \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2} - (\sqrt{250} + 5\sqrt[4]{8})(5+\sqrt{2})}{\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2}  \cdot (\sqrt{250} + 5\sqrt[4]{8})} = \\ \\ = \dfrac{25\sqrt{10} + 10\sqrt[4]{2} - 5\sqrt{250} - 25\sqrt[4]{8} - \sqrt{500}  - 10\sqrt[4]{2}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot (\sqrt{250} + 5\sqrt[4]{8})} = \\ \\ = \dfrac{25\sqrt{10} + 10\sqrt[4]{2} - 25\sqrt{10} - 25 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{2} - 10\sqrt{5}  - 10\sqrt[4]{2}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot (\sqrt{250} + 5\sqrt[4]{8})} = \\ \\ = \dfrac{- 25 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{2} - 10\sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot (\sqrt{250} + 5\sqrt[4]{8})} = \dfrac{-\sqrt{5} \cdot (5 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{2} - 10)}{\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot (\sqrt{250} + 5\sqrt[4]{8})} = \dfrac{-\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot (5 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} - 5\sqrt[4]{2^3})}{\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot (\sqrt{250} + 5\sqrt[4]{8})} = \\ \\ = \dfrac{-\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot (\sqrt{250} + 5\sqrt[4]{8})}{\sqrt{5} \cdot \sqrt[4]{2} \cdot (\sqrt{250} + 5\sqrt[4]{8})} = -1$

Ч.т.д.

Я сделал это!!! Спасибо всем! :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group