Помогите доказать неравенства

[Shamsullo1978]

как доказать, что $|\sigma(x)|=|\int_0^x\rho(u)du|\le 1/8$

[ИСН]

Один студент © в раннем детстве (в начале первого курса) потерялся в джунглях факультета и его воспитала какая-то дикая научная группа. Через несколько лет он вышел к нормальным людям и сказал:
- pʊ́l̪l̩̪̀ ʊˈɪ́qɪ̀ʃx ˈmáʔwàɫ̪ɡ ɛʁjaʊ̯fɤˈn̪ɪ́ɛ́n̪ ˈpǽθwɯ̀ç aʊ̯ˈxɤ́ʔjàɬt xn̪ɛʔwiɬˈtáʔʂʊ̀ɪ̯ ˈt̪ʊ́à kɪ̂t̪ œl̪ˈːâ jaˈqázmʊ̀ɪ̯v l̪ɪʔjɯɾˈzɪ́ʂkàʔ pʼamˈm̩̂ aɪl̪ɔʔˈwɤ́tʃːà ʃʊʔˈjɛ́ɸt̪àʂ?
Люди в недоумении переглянулись.

-- Вт, 2013-02-12, 10:40 --

Думаете, всем понятно, что Вы обозначили буковкой $\sigma$? или $\rho$?

[Whitaker]

Shamsullo1978
Если я не ошибаюсь, то у Вас тут $\rho(x)=\dfrac{1}{2}-\{x\}$ (дробная доля)
Для начала Вам нужно нарисовать график функции $\rho(x)=\dfrac{1}{2}-\{x\},$ а оттуда уже все будет очевидно.
Взгляните внимательно на график и нетрудно проверить, что если $x\in \mathbb{N},$ то $|\sigma(x)|=\left| \int\limits_{0}^{x}\rho(u)du \right|=0$
Если же $x\in \mathbb{R_{+}}\backslash \mathbb{N},$ тогда

$$|\sigma(x)|=\left| \int\limits_{0}^{x}\rho(u)du \right|=\left| \int\limits_{0}^{[x]}\rho(u)du \right+\int\limits_{[x]}^{x}\rho(u)du\right|=\left| \int\limits_{[x]}^{x}\rho(u)du\right|=\left| \int\limits_{0}^{x-[x]}\rho(u)du\right|$$

Обозначая $x-[x]=y$ и $y\in(0,1)$
Получаем, что:

$$|I(y)|=\left| \int\limits_{0}^{y}\rho(u)du \right|$$

Если $y\in(0, 1/2)$, то интеграл будет равен площади трапеции и ее площадь меньше площади прямоугольного треугольника со сторонами $1/2$ и $1/2$. Значит, $|I(y)|<\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
Случай $y\in(1/2, 1)$ аналогично рассуждается.
При $y=\frac{1}{2}$ достигается равенство, а именно $|I(y)|=\frac{1}{8}$