2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Вывод волнового уравнения
Сообщение09.02.2013, 19:52 


24/03/11
198
Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Передо мной встала задача вывести в одномерном случае волновое уравнение для напряженности электрического поля в вакууме при наличии источников. Ниже приведен мой вывод, но преподаватель говорит, что есть ошибка, а именно он говорит просто, что уравнения (7),(8),(9) не похожи на правду, что что-то не то, хочет, чтобы я нашел и исправил ошибку. Однако, я даже умом не приложу, где я мог ошибиться. Помогите мне разобраться, пожалуйста.

Вот мой вывод:

Цитата:
Начинаем со следующих уравнений Максвелла:$$
\begin{cases}
\nabla \cdot \vec{E}=4\pi \rho,&\\
\nabla \cdot \vec{B}=0,\\
\left[\nabla\times\vec{E}\right]=-\frac{1}{c}\frac{\partial \vec{B}}{\partial t},\\
\left[\nabla\times\vec{B}\right]=\frac{4\pi}{c}\vec{j}+\frac{1}{c}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}.\\
\end{cases}
\eqno (1)
$$
Берем "ротор" от третьего уравнения системы:$$\left[\nabla\times\left[\nabla\times\vec{E}\right]\right]=-\frac{1}{c}\left[\nabla\times\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right] \eqno (2)$$
Раскрываем ротор ротора в левой части уравнения (2) и подставляем в результат первое уравнение системы (1), получаем:
$$4\pi\nabla\rho-\triangle\vec{E}=-\frac{1}{c}\left[\nabla\times\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right]\eqno (3)$$
Дифференцируем по времени четвертое уравнение системы (1):
$$\left[\nabla\times\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right]=\frac{4\pi}{c}\frac{\partial \vec{j}}{\partial t}+\frac{1}{c}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}\eqno (4)$$
Подставляем правую часть (4) в правую часть (3), получаем неоднородное волновое уравнение:
$$\triangle\vec{E}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}=4\pi\nabla\rho+\frac{4\pi}{c^2}\frac{\partial \vec{j}}{\partial t}\eqno (5),$$
где $\vec{j}$ и $\rho$ связаны между собой уравнением неразрывности:
$$\nabla\cdot\vec{j}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0\eqno (6)$$
В одномерном случае уравнения (5) и (6) записываются в виде:
$$\frac{\partial^2 E}{\partial x^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2}=4\pi\frac{\partial\rho}{\partial x}+\frac{4\pi}{c^2}\frac{\partial j}{\partial t}\eqno (7)$$
$$\frac{\partial j}{\partial x}+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0\eqno (8)$$
P.S. Первое уравнение системы (1) в одномерном случае записывается так:
$$\frac{\partial E}{\partial x}=4\pi \rho\eqno (9)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод волнового уравнения
Сообщение09.02.2013, 20:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Что такое одномерный случай? Варианты:
1) Все функции зависят только от пространственной переменной $x,$ а от $y$ и $z$ не зависят.
2) Все векторы имеют только компоненту $x,$ а компонент $y$ и $z$ не имеют.
3) Исходные уравнения электродинамики записаны в одномерном случае (двумерное пространство-время), аналогичном обычному трёхмерному (четырёхмерное пространство-время).
n) Какая-то комбинация из вышеперечисленного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод волнового уравнения
Сообщение09.02.2013, 21:04 


24/03/11
198
Исходные уравнения Максвелла записаны в трехмерном случае (четырех-мерное пространство-время).
Одномерный случай означает, что поле распространяется вдоль выделенной одной оси $x$, т.е. функции зависят от пространственной переменной $x$.

Т.е. волна распространяется вдоль x, но вектор направлен вдоль, скажем, y.

Логика моя при выводе была следующей: я вывожу волновое уравнение для 3D-пространства, а затем просто перехожу к одномерному случаю, основываясь на полученном результате.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод волнового уравнения
Сообщение09.02.2013, 21:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ZumbiAzul в сообщении #681952 писал(а):
Т.е. волна распространяется вдоль x, но вектор направлен вдоль, скажем, y.

Тогда вы должны выкинуть производные по $y$ и $z,$ но оставить компоненты векторов, например, $E_y$ и $E_z.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод волнового уравнения
Сообщение09.02.2013, 21:53 


24/03/11
198
Munin в сообщении #681955 писал(а):
ZumbiAzul в сообщении #681952 писал(а):
Т.е. волна распространяется вдоль x, но вектор направлен вдоль, скажем, y.

Тогда вы должны выкинуть производные по $y$ и $z,$ но оставить компоненты векторов, например, $E_y$ и $E_z.$


Компоненты $E_z$ нет, а $E_y$ я пишу просто как $E$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод волнового уравнения
Сообщение09.02.2013, 22:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Хорошо, а от $\vec{\jmath}$ какие компоненты есть, а каких нет?
И главный вопрос: а какие компоненты вектора в наличии у вектора градиента? А то $\Delta$ и $\partial/\partial t$ - скалярные операторы, а $\nabla$ - не-е-ет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод волнового уравнения
Сообщение09.02.2013, 22:23 


24/03/11
198
Для $\vec{j}$ все то же самое вроде должно быть.
У градиента все компоненты, другое дело, когда он действует на функцию, зависящую только от х, то у и z компоненты градиента ничего не дают, они просто зануляют результат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод волнового уравнения
Сообщение09.02.2013, 22:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Правильно. Итак, уравнение, скажем, (5) у вас распадается на три компоненты, поскольку оно векторное. Так как вы берёте только $E_y,$ то из этих трёх компонент у вас должна остаться вторая. А что в ней в правой части?

Короче, полезное правило: не стирайте всякие полезные индексы и аргументы прежде времени. Они помогут следить, что вы делаете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод волнового уравнения
Сообщение09.02.2013, 23:07 


24/03/11
198
Munin в сообщении #681968 писал(а):
Правильно. Итак, уравнение, скажем, (5) у вас распадается на три компоненты, поскольку оно векторное. Так как вы берёте только $E_y,$ то из этих трёх компонент у вас должна остаться вторая. А что в ней в правой части?


Можете расписать в виде формул, пожалуйста, а то я не совсем понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод волнового уравнения
Сообщение09.02.2013, 23:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Уравнение с векторами, типа
$$\ldots\vec{V}\ldots\vec{W}\ldots=\ldots\vec{P}\ldots\vec{Q}\ldots$$ распадается на три уравнения с компонентами:
$$\ldots V_x\ldots W_x\ldots=\ldots P_x\ldots Q_x\ldots$$ $$\ldots V_y\ldots W_y\ldots=\ldots P_y\ldots Q_y\ldots$$ $$\ldots V_z\ldots W_z\ldots=\ldots P_z\ldots Q_z\ldots$$
Вы их должны выписать все, и смотреть отдельно в каждом, что зануляется, а что можно не писать вообще.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод волнового уравнения
Сообщение10.02.2013, 16:50 


24/03/11
198
Все вроде получается так же как я написал...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод волнового уравнения
Сообщение10.02.2013, 20:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ну тогда распишите переход от (5) к (7) подробней, прямо тут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод волнового уравнения
Сообщение12.02.2013, 11:34 


24/03/11
198
Ну вот, пожалуйста.

Итак, пусть поле распространяется вдоль оси $x$ и вектор напряженности электрического поля сонаправлен с осью $y$, т.е. $\vec{E}=0\cdot\vec{e_x}+E_y (x,t)\vec{e_y}+0\cdot\vec{e_z}$, где $\vec{e_i}, i=x,y,z$ - единичные орты поляризации поля. Аналогично можно представить токи: $\vec{j}=0\cdot\vec{e_x}+j_y (x,t)\vec{e_y}+0\cdot\vec{e_z}$. Тогда распишем уравнение (5) по-компонентно:
$$\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\left(0\cdot\vec{e_x}+E_y (x,t)\vec{e_y}+0\cdot\vec{e_z}\right)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\left(0\cdot\vec{e_x}+E_y (x,t)\vec{e_y}+0\cdot\vec{e_z}\right)=$$$$=4\pi\left(\frac{\partial}{\partial x}\rho(x,t)\vec{e_x}+\frac{\partial}{\partial y}\rho(x,t)\vec{e_y}+\frac{\partial}{\partial z}\rho(x,t)\vec{e_z}\right)+\frac{4\pi}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\left(0\cdot\vec{e_x}+j_y (x,t)\vec{e_y}+0\cdot\vec{e_z}\right)\eqno (5.1),$$.
Берем проекцию на ось $y$, получаем:
$$\frac{\partial^2}{\partial x^2}E_y (x,t)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}E_y (x,t)=\frac{4\pi}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}j_y (x,t)\eqno (5.2)$$
Действительно, этот результат на слагаемое отличается от того, что было раньше=) Спасибо!

Тогда вопрос в следующем, правильно ли расписаны по-компонентно токи? Просто я не совсем четко представляю пространственно причинно-следственные связи... Т.е. для того, чтобы получить бегущее вдоль оси x поле y-поляризации, какими должны быть токи.

И еще, почему в волновом уравнении в неоднородность вошли только токи, а не, скажем, только заряды. В чем фундаментально-философские причины?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод волнового уравнения
Сообщение12.02.2013, 11:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Представьте себе, что ток имеет все три ненулевые компоненты. Тогда у вас кроме одного уравнения (5.2) будет ещё два уравнения. Каковы они, и какие выводы из них можно сделать?

То, что вошли только токи, не беда. Токи не независимы от зарядов, они связаны с ними уравнением непрерывности (а возможно, и ещё кое-чем, посмотрим, что у вас получится).

Фундаментально-философские причины я сейчас не потяну. Но вообще почитайте такую забавную штуку, как Нобелевская лекция Ричарда Фейнмана. Полный текст был опубликован в УФН. Вам может понравиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вывод волнового уравнения
Сообщение12.02.2013, 12:09 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
ZumbiAzul в сообщении #682803 писал(а):
И еще, почему в волновом уравнении в неоднородность вошли только токи, а не, скажем, только заряды.
Так ведь у Вас электрическое поле имеет только y-компненту, которая от y не зависит. А плотность заряда - это дивергенция от поля.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group