2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 геометрия (ГИА)
Сообщение04.02.2013, 10:48 


29/05/12
238
Около окружности описана трапеция $ABCD$, боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям, $M$- точка перес диагоналей. $S_{CMD}=S$. Найти радиус окружности.
Изображение
Не знаю с чего начать... Сразу видно, что $S_{\Delta CMD}=S_{\Delta AMD}=S$. Треугольники $AMD$ и $BMC$ подобны.
Не уверен, что центр вписанной окружности совпадает с $M$. Возможно, они лежат на одной прямой, параллельной стороне $AB$. Более того, если имеем впис/окружность, то суммы противоположных сторон у трапеции равны.
:facepalm: :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: геометрия (ГИА)
Сообщение04.02.2013, 11:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14429
Можно предположить, что и вторая сторона перпендикулярна основаниям, то есть трапеция превращается в квадрат. Тогда ответ получается устно. Но это надо обосновать.

 Профиль  
                  
 
 Re: геометрия (ГИА)
Сообщение04.02.2013, 15:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
kda_ximik в сообщении #679828 писал(а):
Сразу видно, что $S_{\Delta CMD}=S_{\Delta AMD}=S$.

Как это?

kda_ximik в сообщении #679828 писал(а):
Не уверен, что центр вписанной окружности совпадает с $M$.

Конечно, не совпадает.

 Профиль  
                  
 
 Re: геометрия (ГИА)
Сообщение04.02.2013, 17:05 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Там описка. Наверняка имелось в виду
$S_{\Delta CMD}=S_{\Delta AMB}=S$

 Профиль  
                  
 
 Re: геометрия (ГИА)
Сообщение04.02.2013, 17:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Наверняка описка. Но точно я не знаю, а додумывать за собеседника вредно. Особенно когда собеседник - ученик, пытающийся решить задачу. Пускай сам видит и исправляет свои ошибки, а не привыкает, что кто-то другой за него это делает.

 Профиль  
                  
 
 Re: геометрия (ГИА)
Сообщение04.02.2013, 22:13 


29/05/12
238
Munin в сообщении #679955 писал(а):
Особенно когда собеседник - ученик

Я закончил школу много лет назад, поэтому "ученик" - это не про меня :D

-- 04.02.2013, 23:22 --

Munin в сообщении #679905 писал(а):
kda_ximik в сообщении #679828 писал(а):
Сразу видно, что $S_{\Delta CMD}=S_{\Delta AMD}=S$.

Как это?

Да, вышла опечатка. Но не думал, что меня так отгавкают...
чтоб площади треугольников $CMD$ и $AMB$ были одинаковыми, должно выполняться соотношение
$\frac{1}{2}\cdot AM\cdot BM\cdot sin\alpha =\frac{1}{2}\cdot MC\cdot MD\cdot sin\alpha $
т.е. $AM\cdot BM =MC\cdot MD$
это соотношение легко получается из подобия треугольников $AMD$ и $BMC$

 Профиль  
                  
 
 Re: геометрия (ГИА)
Сообщение04.02.2013, 23:04 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Что площади тех двух треугольников одинаковы -- это тривиально, никаких синусов для этого не нужно.

А вот что те одинаковые площади не зависят от наклона правой стороны -- это уже требует некоторого занудства, с какой стороны ни погляди.

Можно, например, ввести в рассмотрение два параметра: расстояние от правой верхней вершины до соответствующей ей точки касания с одной стороны -- и расстояние для правой нижней аналогично. И заметить, чуток поразмыслив, что произведение этих двух расстояний равно квадрату радиуса. И потом теми или иными пропорциями (там есть разные варианты) прийти к нужному результату. Это шаблонно, но это и морока.

Ну или угадать какой сугубо геометрический трюк. Но он заведомо выйдет (если выйдет) нестандартным.

Это совершенно неприлично для ГИА.

 Профиль  
                  
 
 Re: геометрия (ГИА)
Сообщение04.02.2013, 23:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
kda_ximik в сообщении #680067 писал(а):
Да, вышла опечатка. Но не думал, что меня так отгавкают...

Приношу извинения.

 Профиль  
                  
 
 Re: геометрия (ГИА)
Сообщение05.02.2013, 10:50 


23/01/07
3415
Новосибирск
ewert в сообщении #680084 писал(а):
Ну или угадать какой сугубо геометрический трюк. Но он заведомо выйдет (если выйдет) нестандартным.
Это совершенно неприлично для ГИА.

Задача в дальнейшем потребует (по моей версии) доказательства двух утверждений:
1) отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых сторонах, делится точкой пересечения диагоналей пополам. Его длина есть среднее гармоническое оснований трапеции;
2) диаметр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен среднему гармоническому оснований трапеции.

 Профиль  
                  
 
 Re: геометрия (ГИА)
Сообщение05.02.2013, 12:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
$$S=R \cdot \frac{AD \cdot BC}{AD + BC}=R^2,$$
т.к. по теореме Пифагора
$$(BC + AD -2R)^2=4R^2 + (BC - AD)^2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: геометрия (ГИА)
Сообщение05.02.2013, 13:25 


07/11/12
135
Если переформулировать задачу: Дана трапеция с основаниями a, b, где боковая сторона перпендикулярна им, надо определить радиус вписанной окружности, тогда $r=\frac {ab} {a+b}$. С другой стороны, известно, что отрезок, параллельный основаниям, проходящий через точку пересечения М диагоналей, равен $r=\frac {2ab} {a+b}$ и делится в этой точке пополам, тогда высота, опущенная из М на сторону АВ, равна в точности r. Отсюда площадь левого бокового треугольника АМВ равна $r^2$, с другой стороны, она равна заданной площади S правого бокового треугольника CMD, откуда следует простой ответ $r=\sqrt {S}$

 Профиль  
                  
 
 Re: геометрия (ГИА)
Сообщение05.02.2013, 13:33 


29/05/12
238
Спасибо Всем кто поучаствовал в решении задачи!!!
Но задачка реально оказалась не по уровню ГИА, если сравнивать аналогичные номера из различных вариантов

-- 05.02.2013, 14:37 --

Батороев в сообщении #680169 писал(а):
ewert в сообщении #680084 писал(а):
Задача в дальнейшем потребует (по моей версии) доказательства двух утверждений:
1) отрезок, параллельный основаниям трапеции, проходящий через точку пересечения диагоналей и соединяющий две точки на боковых сторонах, делится точкой пересечения диагоналей пополам. Его длина есть среднее гармоническое оснований трапеции;
2) диаметр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен среднему гармоническому оснований трапеции.

Уважаемый Батороев! Такие задачки, на мой взгляд, нужно выделять отдельные номера ГИА. Спасибо!!!

 Профиль  
                  
 
 Re: геометрия (ГИА)
Сообщение05.02.2013, 13:39 


05/09/12
2587
ewert в сообщении #680084 писал(а):
Ну или угадать какой сугубо геометрический трюк. Но он заведомо выйдет (если выйдет) нестандартным.
Когда сразу не очевидны геометрические трюки, можно попробовать воспользоваться читерским методом - ввести систему координат, записать координаты вершин, уравнения сторон, диагоналей, условий и т.п. и попробовать покрутить чисто алгебраически эти уравнения. В данной задаче не пробовал, но навскидку - наша трапеция однозначно задается тремя неизвестными параметрами, причем сразу видны 2 связи - она является описанной вокруг окружности (расстояние от известной точки ее центра до боковой грани равно половине высоты) и известна площадь треугольника (координаты точки пересечения диагоналей можно найти, по координатам трех точек вычислить площадь). Если исходных данных достаточно для однозначного решения задачи, то в результате преобразований должно все что надо сократиться и получиться в результате хорошо :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: геометрия (ГИА)
Сообщение05.02.2013, 17:41 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
_Ivana в сообщении #680219 писал(а):
можно попробовать воспользоваться читерским методом - ввести систему координат,

Здесь это излишне -- достаточно элементарных и общеизвестных соотношений. Конечно, неявно это сведётся к координатному методу, но явно к нему прибегать нет необходимости. Вот только элементарных соображений (если они воистину элементарны) многовато понадобится. Спецтеоремы же -- неспортивны.

 Профиль  
                  
 
 Re: геометрия (ГИА)
Сообщение06.02.2013, 06:12 


23/01/07
3415
Новосибирск
ewert в сообщении #680342 писал(а):
Вот только элементарных соображений (если они воистину элементарны) многовато понадобится. Спецтеоремы же -- неспортивны.

Утверждения, которые я привел (если Ваша цитата относится к ним), доказываются довольно просто:
1) выводится через подобие треугольников $BAD$ и $BEM$, $CAD$ и $CMF$ (где $E, F$ точки пересечения прямой, параллельной основаниям и проходящей через $M$, с боковыми сторонами).
2) привел TOTAL

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group