2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предел периодической функции
Сообщение13.01.2013, 18:40 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Если периодическая функция не является постоянной, то её предела при неограниченном уменьшении периода не существует.

Доказательство
Периодическая функция $f(t)$ с периодом $T$ может быть представлена в виде $f(T,t)=f_0(\frac {t}{T})$, где $f_0(t)$ - периодическая функция с единичным периодом. Поскольку рассматриваемая периодическая функция не является постоянной, то на интервале $t\in\left[0,1\right]$ найдутся такие два момента времени $a,b$, что $f_0(a)\neq f_0(b)$.

Обозначим последовательности $T_n^a=\frac {t}{a+n}$ и $T_n^b=\frac {t}{b+n}$.

Рассмотрим предел периодической функции при неограниченном уменьшении периода:$$\lim\limits_{T\to 0}f(T,t)=\lim\limits_{n\to\infty}f(T_n^a,t)=\lim\limits_{n\to\infty}f_0\left(\frac{t}{\frac{t}{a+n}}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}f_0(a+n)=f_0(a)$$ $$\lim\limits_{T\to 0}f(T,t)=\lim\limits_{n\to\infty}f(T_n^b,t)=\lim\limits_{n\to\infty}f_0\left(\frac{t}{\frac{t}{b+n}}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}f_0(b+n)=f_0(b)$$ Поскольку $f_0(a)\neq f_0(b)$ предела не существует.

1. Верно ли утверждение?

2. Можно ли считать приведённые рассуждения доказательством?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел периодической функции
Сообщение13.01.2013, 18:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
profrotter в сообщении #671188 писал(а):
Если периодическая функция не является постоянной, то её предела при неограниченном уменьшении периода не существует.


Уточните, какой предел имеется в виду. Существует огромное количество способов определить предел функции, и примерно в половине из них он существует.

-- 13.01.2013, 19:53 --

Впрочем, в Вашем случае ясно, что предел имеется в виду поточечный, и утверждение верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел периодической функции
Сообщение13.01.2013, 19:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/01/11
2641
СПб
profrotter в сообщении #671188 писал(а):
Если периодическая функция не является постоянной, то её предела при неограниченном уменьшении периода не существует.

Непонятно о чем речь) Если $T$ -- период данной функции, то не всякое число меньшее $T$ будет периодом

-- Вс янв 13, 2013 19:11:58 --

вот, например, какой предел у функции $f(x)=\sin{x}$ при стремлении периода к нулю ($2\pi\to 0$)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел периодической функции
Сообщение13.01.2013, 19:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
alcoholist в сообщении #671198 писал(а):
profrotter в сообщении #671188 писал(а):
Если периодическая функция не является постоянной, то её предела при неограниченном уменьшении периода не существует.

Непонятно о чем речь)


Судя по доказательству, имелся в виду предел функции $f(t/T)$ при $T\to 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел периодической функции
Сообщение13.01.2013, 20:25 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
С синусом так:
$\sin(x)=f(2\pi,x)$,
где $f(T,x)=f_0(\frac {x}{T})$,
а $f_0(x)=\sin(2\pi x)$.
Или $f(T,x)=\sin\left(\frac {2\pi}{T}x\right)$.

-- Вс янв 13, 2013 21:52:03 --

Может как формулировку тогда подправить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел периодической функции
Сообщение13.01.2013, 23:09 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Представление для периодической функции, которое я испльзовал не всегда верно.

Если я так скажу:

Пусть $f(T,t)=f_0\left(\frac {t}{T}\right)$, где $f_0(t)$ - периодическая функция с единичным периодом, не является постоянной, тогда (поточечный) предел $\lim\limits_{T\to 0}f(T,t)$ не существует.

Нормально будет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел периодической функции
Сообщение13.01.2013, 23:13 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
profrotter в сообщении #671309 писал(а):
Нормально будет?

Нормально (за одним небольшим исключением), но бесполезно: это равносильно несуществованию $\lim\limits_{x\to\infty}f_0(x)$, что тривиально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел периодической функции
Сообщение14.01.2013, 08:13 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
Я на открытие то не претендую. Рад был бы просто в учебник заглянуть. Но вот, скажем, у Фихнетгольца не нашёл я этого тривиального факта. У него есть пример с синусом, а вот утверждения про периодическую функцию $\lim\limits_{x\to\infty}f_0(x)$ - нет. Я плохо искал?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group